Теорема Ролля

Если дана непрерывная функция f(х) на участке а, b и внутри этого участка, она. в каждой точке имеет производную, а значение f(a)=f(b). Значит внутри участка есть значение х=с, от него производная приравнивается к нулю f(c)=0.
f(x) непрерывная функция достигает на участке наименьшее значение m и наибольшее значение M. Если m =M это означает что, данная функция на всем участке имеет одни и те же значения. Мы знаем что производная от постоянной приравнивается к нулю, значит при m=M. производная внутри участка равняется нулю. Исходя из того что m - наименьшее значение, а М - наибольшее, можно считать что m<М. Предположим что обозначение М отлично от общего значения на концах отрезка и наибольшее значение она достигнет внутри участка. Точкой этого значения будет х=с. Следовательно f(c)=0 и доказало теорему Ролля.

Иногда эта теорема излагается иначе: в функции между двух корней имеется хотя бы один корень первой производной f(a)=f(b)=0.
Другими словами, если дано условием f(a)= f(b), то ординаты кривой y=f(x) которые соответствуют концам участка - равные, и внутри данного участка есть производная. Значит у кривой есть касательная. Данная теорема доказывает что, в этом случае внутри участка есть хотя бы одна точка, в которой производная приравнивается к нулю.

теорема Ролля

Однако когда условие о существовании производной f(x) во всех точках внутри участка по данной теореме не выполняется, она может быть неверной.
к примеру

f(x) = 1 - ?x2

непрерывна в участке
(-1, +1) и f (-1)=f(1)=0,

но производная f(x) = - 2/(3?x), внутри промежутка в нуль не превращается. Так получается из-за того что f(х) не существует и превращается в бесконечность при х=0.

ролля теорема



Разберем еще один пример
. Есть кривая y=f(x) у которой f(a)=f(b)=0. На чертеже видим касательная находится внутри участка а,b. К оси ОХ не параллельна, значит в нуль не превращается. Так получается из-за того, что у кривой в точке х=а есть две разные касательные с двух сторон, а значит производной у нее нет. По данной теореме условие не выполнено.

кривая ролля

Разберем одну задачу: Нужно доказать , что функция f(х)=х2-3х+2 не противоречит условию данной теоремы, на участке (1,2) и найти точку с ?(1,2) в которой f(c)=0.
Данная функция f(х)=х2-3х+2 дифференцируема на участке (1,2) и, на его концах принимает обозначение:
f(1) = f(2) = 0.
Тогда по теореме Ролля, есть точка с ?(1,2), в которой f(c)=0.
Находим производную функции f(x) = 2x-3. Находим значение в точке с . Полученное приравняем к нулю
f (x) = 2c-3, следовательно, с = 3/2
Наш ответ с = 3/2
Широкий выбор качественной продукции от немецкого производителя, имеющий индивидуальные преимущества. Узнайте какие, перейдя по ссылке окна рехау в самаре (http://oknaforever.ru/produktsiya)


Если материал был полезен, отблагорить наш сайт вы можете, сделав пожертвование.
Любую сумму на развитие проекта вы можете пожертвовать на данной странице.

Вроде бы все понятно, но вот в последней задаче я совершенно запутался. Если можно, разместите пожалуйста как можно больше примеров с использованием этой теоремы.


Вот объясните мне как может непрерывная функция достигать наименьшее и наибольшее значение?!


Мне очень повезло, приведенная задача как раз одна из тех, что у меня в билетах на экзамен. А другие похожие, только числа другие. Спасибо, хоть с этим разберусь)))