Биквадратное уравнение

Уравнение которое выглядит как ax4+bx2+c=0, называют Биквадратным уравнением. В нем х - неизвестная переменная. a,b,c -имеют различное числовое значение, где, а не равно нулю. Так же при х - стоящем в четвертой степени, коэффициент а - называется старшим, и х - стоящем во -второй степени, коэффициент b - называется вторым, с - является свободным членом.
Корнем биквадратного уравнения является значение х если при его использовании уравнение ax4+bx2+c превращается в ноль.

Действие с помощью которого находятся все корни уравнения или выясняется что таковых у него нет, называется - решением биквадратного уравнения.

Для решения биквадратного уравнения существует ряд действий, которые следует придерживаться.


Во-первых:
Путем подстановки, где у=х2, решаемое биквадратное уравнение переводим в квадратное ау2+bу+с=0.

Во-вторых: В полученном уравнении необходимо найти корни.

В-третьих: Произвести замену введенного нами значения х2, путем приравнивания получившихся корней квадратного уравнения.

В- четвертых:
После решения полученного уравнения, находим корни в биквадратном уравнении.

Для того чтобы все легче усвоилось, рассмотрим все описанное на нескольких примерах.

1) Дано уравнение 2х4 -19х2+9=0, оно биквадратное.
Производим замену х2=у, следовательно, х42,
записываем получившееся 2у2-19у+9=0,
Мы получили полное неприведенное уравнение с коэффициентами а=2, b=-19,с=9.
Дискриминант уравнения: D = b2 - 4ac= (-19)2 - 4 * 2 * 9 = 361 - 72 = 289
У квадратного уравнения 2 корня, потому как D=289, что больше ноля. Находим их.

у1 = (-b+ √D)/2a = (-(-19)+ √289)/(2*2) = (19+17)/4 = 36/4 = 9
y2 = (-b- √D)/2a =(-(-19)±√289)/(2*2) = (19-17)/4 = 2/4 = 1/2

Производим замену х11, и х22

х2=9 х2= 1/2
х1,2 = +√9
х1 = 3
х2 =-3
х3.4 = + √(1/2)
х3 = 1/√2
х4= - 1/√2

Данное биквадратное уравнение имеет ответ: х1 = 3; х2 =-3; х3 = 1/√2; х4= - 1/√2 .

2) Рассмотрим уравнение х4 +2х2-8=0
Производим замену х2=у, следовательно, х42,
записываем получившееся у2+2у-8=0,
Мы получили полное неприведенное уравнение с коэффициентами а=1, b=2,с=-8.
Дискриминант уравнения: D = b2 - 4ac=22 - 4 * 1 *(-8) = 4 + 32 = 36
У квадратного уравнения 2 корня, потому как D=36, что больше ноля. Находим их.

у1 = (-b+ √D)/2a = (-2+ √36)/(2*1) = (-2+6)/2 = 4/2 = 2
y2 = (-b- √D)/2a =(-2 - √36)/(2*1) = (-2-6)/2 = (-8)/2 = -4

Производим замену х2 =у1, и х2 =у2
х1=2
х1,2= +√2
х3 = 4 (решения нет)

Данное биквадратное уравнение имеет ответ: х1 =√2; х2 = -√2

Из данного уравнения мы можем сделать вывод. Если при решении получается корень со знаком минус или у меньше ноля, больше его не рассматриваем. т.к. он не подходит нам по условию.

Для приведения многочлена к стандартному виду, во многих случаях используют формулы сокращенного умножения. Они решаются с помощью открытия скобок.


Если материал был полезен, отблагорить наш сайт вы можете, сделав пожертвование.
Любую сумму на развитие проекта вы можете пожертвовать на данной странице.

Не могу понять почему только а не равно нулю, ведь b также умножается на х, значит и b тоже не должно равняться нулю. Или я что то путаю. И как может х при верном решении сводиться к нулю?!


Вот прям ненавижу уравнения, примеры и задания где решение имеет несколько или множество значений. ((((


Самые простые биквадратные уравнения как орешки решаются а вот когда идут длиннючие как на зачетах - хоть из аудитории выбегай честное слово!!!!!!!