Методы решения систем линейных уравнений. Метод Гауса.

пн., 2012-09-17 17:42 — admin

Линейными называются такие уравнения, в которых все переменные находятся в первой степени. Так же в высшей математике переменные могут обозначаться не просто x, y, z и т.д., а переменными с индексами - Решение систем линейных уравнений

Решить систему уравнений означает найти такие значения переменных, при которых каждое уравнение системы превращается в верное равенство. Это правило применимо к любым системам уравнений с любым количеством неизвестных.

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений:

метод подстановки («школьный метод»), или, как его еще называют, методом исключения неизвестных;
метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы;
метод Гаусса;
метод Крамера;
метод обратной матрицы.

Рассмотрим некоторые из вышеуказанных методов.

Pешение системы уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса является самым универсальным и эффективным и заключается в последовательном исключении переменных.

Пример.

Необходимо решить систему:

Решение систем линейных уравнений

Решение:

Прямой ход.

Представим исходную систему в следующем виде:

Решение систем линейных уравнений - Pешение системы уравнений методом Гаусса

На каждом этапе решения будем располагать с правой стороны расширенную матрицу,
эквивалентную системе уравнений. Расширенная матрица представляет собой несколько иную
форму записи исходной системы уравнений. Это позволит нам вести решение более наглядно.

Исключим переменную x₁ из последнего уравнения.

Для удобства переведем систему уравнений в целые числа, для этого умножим коэффициенты

первого уравнения на 3, а коэффициенты второго уравнения на -2:

Pешение системы уравнений методом Гаусса