Методы решения систем линейных уравнений. Метод Гауса.

Линейными называются такие уравнения, в которых все переменные находятся в первой степени. Так же в высшей математике переменные могут обозначаться не просто x, y, z и т.д., а переменными с индексами - Решение систем линейных уравнений

Решить систему уравнений означает найти такие значения переменных, при которых каждое уравнение системы превращается в верное равенство. Это правило применимо к любым системам уравнений с любым количеством неизвестных.

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений:

  • метод подстановки («школьный метод»), или, как его еще называют, методом исключения неизвестных;
  • метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы;
  • метод Гаусса;
  • метод Крамера;
  • метод обратной матрицы.

Рассмотрим некоторые из вышеуказанных методов.

Pешение системы уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса является самым универсальным и эффективным и заключается в последовательном исключении переменных.

Пример.

Необходимо решить систему:

Решение систем линейных уравнений

Решение:

Прямой ход.

Представим исходную систему в следующем виде:

Решение систем линейных уравнений - Pешение системы уравнений методом Гаусса
Pешение системы уравнений методом Гаусса

На каждом этапе решения будем располагать с правой стороны расширенную матрицу,
эквивалентную системе уравнений. Расширенная матрица представляет собой несколько иную
форму записи исходной системы уравнений. Это позволит нам вести решение более наглядно.

Исключим переменную x1 из последнего уравнения.

Для удобства переведем систему уравнений в целые числа, для этого умножим коэффициенты


первого уравнения на 3, а коэффициенты второго уравнения на -2:

Pешение системы уравнений методом Гаусса
Pешение системы уравнений методом Гаусса

Умножим коэффициенты первого уравнения на -1.

Обычно, данное преобразование системы выполняется в уме и не указывается при решении.

Решение систем линейных уравнений - Pешение системы уравнений методом Гаусса
Решение систем линейных уравнений. Pешение системы уравнений методом Гаусса

Прибавим получившееся уравнение ко второму уравнению.

Первое уравнение при этом не изменится в исходной системе.

Решение систем линейных уравнений - Pешение системы уравнений методом Гаусса
Решение систем линейных уравнений

Обратный ход.

Рассмотрим второе уравнение получившейся системы:

Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим первое уравнение получившейся системы:

Решение систем линейных уравнений. Pешение системы уравнений методом Гаусса

Найдем значение переменной x1

.

Решение систем линейных уравнений

Найдем значение переменной x2, подставив найденное значение x1.

Решение систем линейных уравнений

Ответ :

Решение систем линейных уравнений - Pешение системы уравнений методом Гаусса

Если решили построить дом, то проекты коттеджей (http://www.intexhome.ru/projects/) вам будут необходимы.


Если статья вам помогла, то будем рады получить вашу благодарность в виде пожертвования в фонд развития проекта.
Любую сумму на развитие проекта вы можете пожертвовать на данной странице.

Вот как раз

Вот как раз метод Гаусса и метод Крамера для меня самые сложные. С матрицами не всегда получается все правильно расписать и подставить.

Помогите

Помогите решить систему
2х+5у=15
3х+88у=-11