Метод обратной матрицы и как найти обратную матрицу

Решать систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы («найти обратную матрицу») - это не самый удобный способ, но он существует. Нахождение обратной матрицы применимо, если определитель, будучи составлен из коэффициентов при переменных, Знак неравенства0.

Для примера возьмем опять же знакомую нам систему:

Исходная система линейных уравнений

Запишем эту систему в матричной форме

A * X = B

Метод обратной матрицы – матричная форма

Будем искать матицу A1, обратную к матрице А, с помощью
метода Гаусса

Метод обратной матрицы – матрица А1

Для этого запишем расширенную матрицу, в которой слева будет находиться наша исходная
матрица А, а справа - единичная.

Используя метод Гаусса, постепенно приведем нашу исходную к единичной матрице. Это
преобразование применим ко всей расширенной матрице.

После приведения левой части расширенной матрицы к единичной, справа окажется матрица,
обратная к нашей исходной, а проследить последовательность приведения левой части расширенной


матрицы к единичной нам помогут серые выделенные элементы.

Метод обратной матрицы – матрица А1

Рассмотрим столбец 1.

Преобразования матрицы удобнее производить в целых числах, для этого следует прибавить
соответствующие элементы строки 1 к элементам строки 2:

Метод обратной матрицы – преобразования матрицы

Прибавим соответствующие элементы строки 1 к элементам строки 2, помножив их на -3.

Метод обратной матрицы – преобразования матрицы

Это приведет к тому, что в левой части расширенной матрицы, все элементы расположенные ниже
главной диагонали = 0.

Проведем аналогичные преобразования, но уже применительно к элементам матрицы,
расположенными выше главной диагонали.

Рассмотрим столбец 2.

Разделим элементы строки 2 на -30.

Метод обратной матрицы – преобразования матрицы

Прибавим к элементам строки 1 соответствующие элементы строки 2, помноженные на -13.

Метод обратной матрицы – преобразования матрицы

Элементы строки 1 разделим на -1.

Метод обратной матрицы – преобразования матрицы

Запишем обратную матрицу.

Метод обратной матрицы – обратная матрица

Теперь вернемся к уравнению, записанному нами в матричной форме.

A * X = B

Умножим обе части уравнения на A1

Метод обратной матрицы – преобразования матрицы

Произведение исходной матрицы на обратную дает единичную матрицу,
т.е. A1 * A = Е, следовательно

X = A1 * B

Метод обратной матрицы – итоговые формулы

Ответ :

Ответ задания


Если статья вам помогла, то будем рады получить вашу благодарность в виде пожертвования в фонд развития проекта.
Любую сумму на развитие проекта вы можете пожертвовать на данной странице.

Метод обратной

Метод обратной матрицы не только не самый удобный, но и самый непонятный. Частично понимаю, частично нет. Вот до умножения на А1 я понимаю о чем речь, дальше никак.