Метод обратной матрицы и как найти обратную матрицу

Решать систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы («найти обратную матрицу») - это не самый удобный способ, но он существует. Нахождение обратной матрицы применимо, если определитель, будучи составлен из коэффициентов при переменных, Знак неравенства0.

Для примера возьмем опять же знакомую нам систему:

Исходная система линейных уравнений

Запишем эту систему в матричной форме

A * X = B

Метод обратной матрицы – матричная форма

Будем искать матицу A1, обратную к матрице А, с помощью
метода Гаусса

Метод обратной матрицы – матрица А1

Для этого запишем расширенную матрицу, в которой слева будет находиться наша исходная
матрица А, а справа - единичная.

Используя метод Гаусса, постепенно приведем нашу исходную к единичной матрице. Это
преобразование применим ко всей расширенной матрице.

После приведения левой части расширенной матрицы к единичной, справа окажется матрица,
обратная к нашей исходной, а проследить последовательность приведения левой части расширенной


матрицы к единичной нам помогут серые выделенные элементы.

Метод обратной матрицы – матрица А1

Рассмотрим столбец 1.

Преобразования матрицы удобнее производить в целых числах, для этого следует прибавить
соответствующие элементы строки 1 к элементам строки 2:

Метод обратной матрицы – преобразования матрицы

Прибавим соответствующие элементы строки 1 к элементам строки 2, помножив их на -3.

Метод обратной матрицы – преобразования матрицы

Это приведет к тому, что в левой части расширенной матрицы, все элементы расположенные ниже
главной диагонали = 0.

Проведем аналогичные преобразования, но уже применительно к элементам матрицы,
расположенными выше главной диагонали.

Рассмотрим столбец 2.

Разделим элементы строки 2 на -30.

Метод обратной матрицы – преобразования матрицы

Прибавим к элементам строки 1 соответствующие элементы строки 2, помноженные на -13.

Метод обратной матрицы – преобразования матрицы

Элементы строки 1 разделим на -1.

Метод обратной матрицы – преобразования матрицы

Запишем обратную матрицу.

Метод обратной матрицы – обратная матрица

Теперь вернемся к уравнению, записанному нами в матричной форме.

A * X = B

Умножим обе части уравнения на A1

Метод обратной матрицы – преобразования матрицы

Произведение исходной матрицы на обратную дает единичную матрицу,
т.е. A1 * A = Е, следовательно

X = A1 * B

Метод обратной матрицы – итоговые формулы

Ответ :

Ответ задания


Если материал был полезен, отблагорить наш сайт вы можете, сделав пожертвование.
Любую сумму на развитие проекта вы можете пожертвовать на данной странице.

Метод обратной матрицы не только не самый удобный, но и самый непонятный. Частично понимаю, частично нет. Вот до умножения на А1 я понимаю о чем речь, дальше никак.