Решение матриц. Объясняем, как решать матрицы.

Решение матриц – понятие обобщающее операции над матрицами. Под математической матрицей понимается таблица элементов. О подобной таблице, в которой m строк и n столбцов, говорят что это матрица размером m на n.
Общий вид матрицы
решение матриц
Основные элементы матрицы:
Главная диагональ. Её составляют элементы а1122…..аmn
Побочная диагональ. Её слагают элементы а1n2n-1…..аm1 .
Перед тем как перейти к решению матриц рассмотрим основные виды матриц:
Квадратная – в которой число строк равно числу столбцов (m=n)
Нулевая – все элементы этой матрицы равны 0.
Транспонированная матрица — матрица В, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
Единичная – все элементы главной диагонали равны 1, все остальные 0.
Обратная матрица — матрица , при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.
Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. То есть, если а1221 , а1331,….а2332…. аm-1nmn-1. то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными бывают только квадратные матрицы.
Теперь перейдем непосредственно к вопросу, как решать матрицы.

Сложение матриц.

Матрицы можно алгебраически складывать, если они обладают одинаковой размерностью. Чтобы сложить матрицу А с матрицей В, необходимо элемент первой строки первого столбца матрицы А сложить с первым элементом первой строки матрицы В, элемент второго столбца первой строки матрицы А сложить с элементом элемент второго столбца первой строки матрицы В и т.д.
Свойства сложения
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С)

Умножение матриц.

Матрицы можно перемножать, если они согласованы. Матрицы А и В считаются согласованными, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.


Если А размерностью m на n, B размерностью n на к, то матрица С=А*В будет размерностью m на к и будет составлена из элементов
решение матриц
Где С11 – сумма папарных произведений элементов строки матрицы А и столбца матрицы В, то есть элемента сумма произведения элемента первого столбца первой строки матрицы А с элементом первого столбца первой строки матрицы В, элемента второго столбца первой строки матрицы А с элементом первого столбца второй строки матрицы В и т.д.
При перемножении важен порядок перемножения. А*В не равно В*А.

Нахождение определителя.

Любая квадратная матрица может породить определитель или детерминант. Записывает det. Или | элементы матрицы |
Для матриц размерностью 2 на 2. Определить есть разница между произведением элементов главной и элементами побочной диагонали.
решение матриц
Для матриц размерностью 3 на 3 и более. Операция нахождения определителя сложнее.
Введем понятия:
Минор элемента – есть определитель матрицы, полученной из исходной матрицы, путем вычеркивания строки и столбца исходной матрицы, в которой этот элемент находился.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется произведение минора этого элемента на -1 в степени суммы строки и столбца исходной матрицы, в которой этот элемент находился.
Определитель любой квадратной матрицы равен сумме произведения элементов любого ряда матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения.

Обращение матрицы

Обращение матрицы - это процесс нахождения обратной матрицы, определение которой мы дали в начале. Обозначается обратная матрица также как исходная с припиской степени -1.
Находиться обратная матрица по формуле.
А-1 = A*T x (1/|A|)
Где A*T - Транспонированная матрица Алгебраических дополнений.

Примеры решения матриц мы сделали в виде видеоурока

:

Если хотите разобраться, смотрите обязательно.

Это основные операции по решению матриц. Если появится дополнительные вопросы о том, как решить матрицы, пишите смело в комментариях.

В дополнении хотелось бы порекомендовать вам наш бесплатный сервис по решению матриц онлайн.

Если все же вы не смогли разобраться, попробуйте обратиться к специалисту.


Если статья вам помогла, то будем рады получить вашу благодарность в виде пожертвования в фонд развития проекта.
Любую сумму на развитие проекта вы можете пожертвовать на данной странице.

Расширила свои

Расширила свои познания в вопросе решения матриц. Неплохая статейка, спасибо автору. Вообще очень удобно, когда информация подается систематизировано - воспринимать ее гораздо легче.

Много нового

Много нового узнала из вашей статьи, но у меня возникло несколько вопросов по расширении матриц. Как определить матрицу треугольного вида, и как найти основные свойства детерминантов?

В решении

В решении матриц понимаю не все. Я вообще в этом вопросе практически самоучка, поэтому многие вещи еще непонятны. Но пытаюсь анализировать и разбираться. Почему важен порядок при перемножении?

Для меня

Для меня квадратная матрица-это самое сложное в этой системе в целом. Потому что уж больно сильно как-то замудрено, если брать в сравнение. И у меня так и остается куча вопросов по всему этому, хотя вроде и написано объяснение в данном случае.

Всегда ли

Всегда ли таблица элементов может помощь решить матрицу? И она получается состоит как раз из этих частичек? Алгебраическим дополнением наверно будет служить в данном случае выведение формулы и составляющей из матричного порядка.

Нам в институте

Нам в институте высшую математику очень сильный преподаватель читал, хочешь не хочешь а выучишь. Теперь к счастью хоть матрицы не сильно сложные сам могу решить.

Нам в институте

Нам в институте высшую математику очень сильный преподаватель читал, хочешь не хочешь а выучишь. Теперь к счастью хоть матрицы не сильно сложные сам могу решить.

У нас наверное

У нас наверное в институте простейшие матрицы были, потому что то что тут представлено я впервые вижу вообще. От информации на счет диагоналей я вообще в шоке!!!!!!

Не видела ни в

Не видела ни в одной классической книге словосочетания "Решение матриц". Матрица - это таблица констант, т.е. НЕИЗМЕННАЯ таблица. Решать матрицу нельзя. Можно решать пример, содержащий матрицы, можно выполнять действия над матрицами...

Странно,а у нас

Странно,а у нас в колледже везде было в заданиях написано "Решите матрицу". Получается даже те кто учебники и экзаменационные задания составляет не разбираются в том что пишут?!

Нам в колледже

Нам в колледже немного не так объясняли, но здесь мне кажется понятнее. Единственное не совсем понятно как производить обращение матрицы, если можно об этом подробнее в комментариях или в новой статье.

Матрицы????? Это

Матрицы????? Это прям как в фильме что ли? Шучу конечно, но слава богу нам такого еще не рассказывали.