Решение интегралов. Рассказываем, как решать интегралы.

интегралИнтеграл – расширенное математическое понятие суммы. Решение интегралов или их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое.
Решение интегралов (интегрирование) есть операция обратная диференциированию.
Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. Представьте. У нас есть тело, но пока не можем описать его, мы только знаем какие у него элементарные частицы и как они расположены. Для того, чтобы собрать тело в единое целое необходимо проинтегрировать его элементарные частички – слить части в единую систему.
В геометрическом виде для функции y=f(x), интеграл представляет собой площадь фигуры ограниченной кривой, осью х, и 2-мя вертикальными линиями х=а и х=b .

интеграл


Так вот площадь закрашенной области, есть интеграл от функции в пределах от a до b.
Не верится? Проверим на любой функции. Возьмем простейшую у=3. Ограничим функцию значениями а=1 и b=2. Построим:

Итак ограниченная фигура прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. В наше случае длина 3, ширина 1, площадь 3*1=3.
Попробуем решить тоже самое не прибегая к построению, используя интегрирование:

Как видите ответ получился тот же. Решение интегралов – это собирание во едино каких-либо элементарных частей. В случае с площадью суммируются полоски бесконечно малой ширины. Интегралы могут быть определенными и неопределенными.
Решить определенный интеграл значит найти значение функции в заданных границах. Решение неопределенного интеграла сводиться к нахождению первообразной.

F(x) – первообразная. Дифференцируя первообразую, мы получим исходное подинтегральное выражение. Чтобы проверить правильно ли мы решили интеграл, мы дифференциируем полученный ответ и сравниваем с исходным выражением.
Основные функции и первообразные для них приведены в таблице:

Таблица первообразных для решения интегралов


Основные приемы решения интегралов:
Решить интеграл, значит проинтегрировать функцию по переменной. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что вопрос, как решить интеграл, решен. Если же нет, то основной задачей при решении интеграла становиться сведение его к табличному виду.
Сначала следует запомнить основные свойства интегралов:

Знание только этих основ позволит решать простые интегралы. Но следует понимать, что большинство интегралов сложные и для их решения необходимо прибегнуть к использованию дополнительных приемов. Ниже мы рассмотрим основные примеры решения интегралов. Приемы будет даны для общего ознакомления без примеров решения, чтобы не перегружать статью. Нужно понимать, что за 5 минут прочтения статьи решать все сложные интегралы вы не научитесь, но правильно сформированный каркас понимания, позволит сэкономить часы времени на обучение и выработку навыков по решению интегралов.

Основные приемы решения интегралов

1. Замена переменной.

Для выполнения данного приема потребуется хороший навык нахождения производных.

2. Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой.

Применения этой формулы позволяет казалось бы нерешаемые интегралы привести к решению.

3. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- разложить дробь на простейшие
- выделить полный квадрат.
- создать в числителе дифференциал знаменателя.

4. Интегрирование дробно-иррациональных функций.
- выделить под корнем полный квадрат
- создать в числителе дифференциал подкоренного выважения.
5. Интегрирование тригонометрических функций.
При интегрировании выражений вида
применяет формулы разложения для произведения.
Для выражений
m-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin2+cos2=1
m,n – четные, sin2x=(1-cos2x)/2 и cos2x=(1+cos2x)/2
Для выражений вида:
- Применяем свойство tg2x=1/cos2x - 1

С базовыми приемами на этой всё. Теперь выведем своего рода алгоритм:
Алгоритм обучения решению интегралов:
1. Разобраться в сути интегралов. Необходимо понять базовую сущность интеграла и его решения. Интеграл по сути есть сумма элементарных частей объекта интегрирования. Если речь идет об интегрирование функции, то интеграл есть площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. Если интеграл неопределенный, то есть границы интегрирования не указаны, то решение сводиться к нахождению первобразной. Если интеграл определенный, то необходимо подставить значения границ в найденную функцию.
2. Отработать использование таблицы первообразных и основным свойства интегралов. Необходимо научиться пользоваться таблицей первообразных. По множеству функций первообразные найдены и занесены в таблицу. Если мы имеем интеграл, которые есть в таблице, можно сказать, что он решен.
3. Разобраться в приемах и наработать навыки решения интегралов.Если интеграла не табличного вида, то его решение сводиться к приведению его к виду одного из табличных интегралов. Для этого мы используем основные свойства и приемы решения. В случае, если на каких то этапах применения приемов у вас возникают трудности и непонимания, то вы более подробно разбираетесь именно по этому приему, смотрите примеры подобного плана, спрашиваете у преподавателя.
Дополнительно после решения интеграла на первых этапах рекомендуется сверять решение. Для этого мы дифференциируем полученное выражение и сравниваем с исходным интегралом.
Отработаем основные моменты на нескольких примерах:

Примеры решения интегралов

Пример 1:
Решить интеграл:
Пример решения интегралов
Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Для этого интеграл суммы разложим на сумму интегралов.
Пример решения интегралов
Каждый из интегралов табличного вида. Смотрим первообразные по таблице.
Решение интеграла:
Пример решения интегралов
Проверим решение(найдем производную):
Пример решения интегралов

Пример 2. Решаем интеграл
Пример решения интегралов
Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Сравниваем с таблицей. В таблице нет.
Разложить, пользуясь свойствами, нельзя.
Смотрим приемы. Наиболее подходит замена переменной.
Заменяем х+5 на t5. t5 = x+5 . Получаем.
Пример решения интегралов
Но dx нужно тоже заменить на t. x= t5 - 5, dx = (t5 - 5)’ = 5t4. Подставляем:
Пример решения интегралов
Интеграл из таблицы. Считаем:
Пример решения интегралов
Подставляем в ответ вместо t ,
Пример решения интегралов
Решение интеграла:
Пример решения интегралов

Пример 3. Решение интеграла:
Пример решения интегралов
Для решения в этом случае необходимо выделить полный квадрат. Выделяем:
Пример решения интегралов

В данном случае коэфециент ½ перед интегралом получился в результате замены dx на ½*d(2x+1). Если вы найдете производные x’ = 1 и ½*(2x+1)’= 1, то поймете почему так.
В результате мы привели интеграл к табличному виду.
Находим первообразную.
Пример решения интегралов
В итоге получаем:
Пример решения интегралов

Надеюсь вопрос, как решать интегралы для вас прояснился. Мы дорабатываем статью по мере поступления предложений. Поэтому если у вас появились какие то предложения или вопросы по теме решения интегралов, пишите в комментариях.


Хотите еще лучше разобраться в интегралах?
Мы рады предложить вам услуги подбора квалифицированного репетитора в вашем городе. Наши партнеры оперативно подберут для вас хорошего преподавателя на выгодных для вас условиях.

>>>> Просто заполните заявку!


Мало информации? - Вы можете подробнее узнать о сервисе...!

Рекламная заметка: Для особо пытливых умов советуем Видео-лекции по математическому программированию. Программирование одна из дочек математики!

Решение

Решение интегралов может объяснено и доходчиво, только сами интегралы для меня какие то не доходчивые. Сколько над ними не бьюсь, ничего не получается.

Получается, что

Получается, что решение интегралов это совмещение несовместимого и деление того, что в принципе сложно было бы сделать, но именно при помощи интергальной системы и становится все вполне реально найти ответы.

Для меня не

Для меня не полностью все же решился вопрос по решению интегралов. Было бы интереснее послушать еще и каким образом уравнение формируется и в каких случаях. Так есть стереотип и стандарт.

Для меня не

Для меня не полностью все же решился вопрос по решению интегралов. Было бы интереснее послушать еще и каким образом уравнение формируется и в каких случаях. Так есть стереотип и стандарт.

В школе не

В школе не задумывалась над тем нафиг это нужно,решала и всё. Сейчас снова столкнулась спустя почти 30 лет и обалдеваю от этих заворотов. Порывшись в своих школьных тетрадях понимаю,что тогда тоже был завал,потому ничерта понять не могу - голова пухнет от этого "дурдома",а зачёт сдать надо.(

Ну вроде

Ну вроде понятно... Завтра экзамен... Вот примеров бы побольше не помешало точно..

да

да дружище,конечно спасибо,но все же тут хер че поймешь и теперь я еще больше стал их ненавидеть

Добростатья.

Добростатья. Все понятно, на пальцах даже написано, можно сказать. Огромное спасибо!

Как решать

Как решать интегралы, и что они в принципе обозначают - объясненно доходчиво.
Непонятно другое: нафига так усложнять решения, если прекрасно все решается и без интегралов.
Возьмем ту же задачу с площадью. Если мы ограничили площадь высотой 3 (y=3), а ширину - 1 (x=2-1=1), то решение задачи с площадью S= 3*(2-1)=3. И оно решается, записывается и воспринимается намного проще чем через интеграл. И совершенно не обязательно даже строить график функции.
То есть в случае с интегралом мы производим массу никому не нужных записей и просто усложняем себе жизнь.
Напрашивается вывод - интегралы нахрен никому не нужны. Хотелось бы увидеть ту задачу, которую проще было бы решить при помощи интеграла, чем обычными простыми способами.

Ага, а ты возьми

Ага, а ты возьми какую-нибудь невъебическую функцию построй ее график и посчитай площадь фигуры без интеграла, а я посмеюсь! ))))

Задача с

Задача с прямоугольником дана для пояснения сути интеграла. Площади же (или объёмы) сложных фигур без использования интеграла точно вычислить не получится. В самом начале статьи показан график криволинейной трапеции. Так вот, можно отсечь от него прямоугольник и легко найти его площадь. А как быть с той волнистой частью? Как раз для таких неудобных случаев и применяют интеграл.

ниХера! В

ниХера! В математики я полный НолЬ!!!

в русском языке

в русском языке тоже.

показали бы еще

показали бы еще решение несобственных интегралов, это главная запара(((

Надо же! До меня

Надо же! До меня дошло!!! от души благодарен!

НИ ХЕРА НЕ

НИ ХЕРА НЕ ПОНЯТНО (

ПОЛНОСТЬЮ

ПОЛНОСТЬЮ СОГЛАСЕН!!!

это все конечно

это все конечно хорошо)) но неплохо было бы и примеры решения и обьяснения подробного по больше

примеры

примеры решения добавили. спасибо за пожелания

Мило. По

Мило. По крайней мере ясно, как решать интеграл

Отличные

Отличные таблицы!Спасибо за повторение))
Теперь хоть сессию на 1 курсе закрою))

Нащёт интегр.

Нащёт интегр. по частям, дробно-рацион. и дробно-иррациональных интегр. не вкупил, а так впринципе доходчиво

nicheqo ne

nicheqo ne ponela(((((((((((vot esli i primeri bili bili bi,bilo bi otlichno

пффф, чтоб я

пффф, чтоб я здох. Пора сапогичистить учится(((

Жаль что я не

Жаль что я не парень xD

Читал... читал...

Читал... читал... И не понял( Завтра контрольная, и в голове пусто. Хоть бы решение было. От одной теории мне толку очень мало

пример на

пример на площадь не очень, не могли бы вы переделать его с линейной функцией y=x, а то так слишком просто.

Супер! Очень

Супер! Очень доступно! Спасибо огромное!

теория хорошая,

теория хорошая, я тоже поняла с чем едят интеграл, но все же как его находить, если например он рациональный? там надо применять всякие А В С Д и все такое (это не сложно) но дальше

Это конечно всё

Это конечно всё здорово, но я ничего не понял как решать интеграл... Что и куда подставлять... Как решать их.... Хоть бы кто добавил подробный описанный и илюстрированный пример.... А лучше несколько примеров.... А-то не то, что с 8-го... С 126-го раза люди не сдадут предмет...

примеры

примеры решения интегралов добавили. статью немного расширили.

Статья хороша,

Статья хороша, написана доходчиво.
Одно плохо - грамматика страдает. Глаголы "сводиться" и "становиться" пишутся БЕЗ "Ь". Проверка - что делает?, т.е. "сводится" и "становится ". Становиться в очередь (что делать?), а преобразуется - становится.
Господи, половина инета пишет с этой ошибкой.

Спасибо но мне

Спасибо но мне ща больше поможет какое нибудь чудо чем эта информация(((((((((((((

Не понял,

Не понял, печально, уже не знаю, как мне с этим разобраться

хах :) Спасибо

хах :)
Спасибо огромное :))
Теперь я точно пересдам экзамен.. раза с 8го... :D

СПАСИБО! этот

СПАСИБО! этот сайт помог наконец то врубиться в матан! ппц я счастлив =))

мде)))) нечего не

мде)))) нечего не понял)) а завтра тест))) ну и хрен сним)) спс))

бооольшое

бооольшое спасибо оч помогло до прочтения вообще не понимал что это и как решать =)

Большое

Большое человеческое Спосибо..
Учебники не воспринемаю а тут всё ясно написано доступным языком.

Такое описание!

Такое описание! Даже я разобрался, спасибо)

через час идти

через час идти на зачет а я так и не понял(

Нам в институте

Нам в институте не хрена их необьяснили скоро экзамен я в этом нуб он трындит на меня что делать ?выы типо должны всё сами искать и учить остальное дело за вами . я нах в иститут шел учится так учите нет они опять за своё

Матан

Матан матан...Как много в этом слове...

Ща глянем че

Ща глянем че тут!!!!=))

Спасибо за

Спасибо за статью, в учебниках такая дребедень написана! Мол, вот тут напишите такЭ\, здесь и так всё понятно, вот вам всё решение, без объяснений!
теперь я хотя бы поняла, что вообще такое интегралы, т.е. саму суть поняла. И таблица очень хорошая, полная.

не училась в

не училась в инсте еще, но теперь и не страшно.. достаточно просто) единственное - путаюсь в обозначениях, чтоб их

да понту нет от

да понту нет от этой статьи ну да стало понятно что из себя представляет интеграл , но не больше, это то же самое что в авто школе учили бы устройству машины но не учили бы на ней ездить ( а вы:"ООО ништяк я знаю как работает машина уху я все теперь понял") я могу без стыда заявить что я нихрена не понимаю как их ршать и не считаю что это как то стремно была бы статья в ЕЩЕ болие понятном формате было бы здорово, и тут люди уже говорили про примеры, вот их то и не хватает, большинство только в поисках примеров натыкается на этот сайт а тут их нету!=) ладно интернет большой может что нибудь да найду=)

примеры

примеры решения интегралов добавлены.
Спасибо за комментарий.