Решение интегралов

интегралИнтеграл – расширенное математическое понятие суммы. Решение интегралов или их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое.
Решение интегралов (интегрирование) есть операция обратная диференциированию.
Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. Представьте. У нас есть тело, но пока не можем описать его, мы только знаем какие у него элементарные частицы и как они расположены. Для того, чтобы собрать тело в единое целое необходимо проинтегрировать его элементарные частички – слить части в единую систему.
В геометрическом виде для функции y=f(x), интеграл представляет собой площадь фигуры ограниченной кривой, осью х, и 2-мя вертикальными линиями х=а и х=b .

интеграл


Так вот площадь закрашенной области, есть интеграл от функции в пределах от a до b.
Не верится? Проверим на любой функции. Возьмем простейшую у=3. Ограничим функцию значениями а=1 и b=2. Построим:

Итак ограниченная фигура прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. В наше случае длина 3, ширина 1, площадь 3*1=3.
Попробуем решить тоже самое не прибегая к построению, используя интегрирование:

Как видите ответ получился тот же. Решение интегралов – это собирание во едино каких-либо элементарных частей. В случае с площадью суммируются полоски бесконечно малой ширины. Интегралы могут быть определенными и неопределенными.
Решить определенный интеграл значит найти значение функции в заданных границах. Решение неопределенного интеграла сводиться к нахождению первообразной.

F(x) – первообразная. Дифференцируя первообразую мы получим исходное подинтегральное выражение.
Основные функции и первообразные для них приведены в таблице:

Основные приемы решения интегралов:
Решить интеграл, значит проинтегрировать функцию по переменной. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что он решен. Если же нет, то основной задачей при решении интеграла становиться сведение его к табличному виду.
Сначала следует запомнить основные свойства интегралов:

А теперь собственно приемы решения интегралов:
1. Замена переменной.

2. Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой.

3. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- разложить дробь на простейшие
- выделить полный квадрат.
- создать в числителе дифференциал знаменателя.
4. Интегрирование дробно-иррациональных функций.
- выделить под корнем полный квадрат
- создать в числителе дифференциал подкоренного выважения.
5. Интегрирование тригонометрических функций.
При интегрировании выражений вида
применяет формулы разложения для произведения.
Для выражений
m-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin2+cos2=1
m,n – четные, sin2x=(1-cos2x)/2 и cos2x=(1+cos2x)/2
Для выражений вида:
- Применяем свойство tg2x=1/cos2x - 1

Рекламная заметка: Для особо пытливых умов советуем Видео-лекции по математическому программированию. Программирование одна из дочек математики!

Ну вроде

Ну вроде понятно... Завтра экзамен... Вот примеров бы побольше не помешало точно..

да

да дружище,конечно спасибо,но все же тут хер че поймешь и теперь я еще больше стал их ненавидеть

Добростатья.

Добростатья. Все понятно, на пальцах даже написано, можно сказать. Огромное спасибо!

Как решать

Как решать интегралы, и что они в принципе обозначают - объясненно доходчиво.
Непонятно другое: нафига так усложнять решения, если прекрасно все решается и без интегралов.
Возьмем ту же задачу с площадью. Если мы ограничили площадь высотой 3 (y=3), а ширину - 1 (x=2-1=1), то решение задачи с площадью S= 3*(2-1)=3. И оно решается, записывается и воспринимается намного проще чем через интеграл. И совершенно не обязательно даже строить график функции.
То есть в случае с интегралом мы производим массу никому не нужных записей и просто усложняем себе жизнь.
Напрашивается вывод - интегралы нахрен никому не нужны. Хотелось бы увидеть ту задачу, которую проще было бы решить при помощи интеграла, чем обычными простыми способами.

Ага, а ты возьми

Ага, а ты возьми какую-нибудь невъебическую функцию построй ее график и посчитай площадь фигуры без интеграла, а я посмеюсь! ))))

Задача с

Задача с прямоугольником дана для пояснения сути интеграла. Площади же (или объёмы) сложных фигур без использования интеграла точно вычислить не получится. В самом начале статьи показан график криволинейной трапеции. Так вот, можно отсечь от него прямоугольник и легко найти его площадь. А как быть с той волнистой частью? Как раз для таких неудобных случаев и применяют интеграл.

ниХера! В

ниХера! В математики я полный НолЬ!!!

в русском языке

в русском языке тоже.

показали бы еще

показали бы еще решение несобственных интегралов, это главная запара(((

Надо же! До меня

Надо же! До меня дошло!!! от души благодарен!

НИ ХЕРА НЕ

НИ ХЕРА НЕ ПОНЯТНО (

ПОЛНОСТЬЮ

ПОЛНОСТЬЮ СОГЛАСЕН!!!

это все конечно

это все конечно хорошо)) но неплохо было бы и примеры решения и обьяснения подробного по больше

Мило. По

Мило. По крайней мере ясно, как решать интеграл

Отличные

Отличные таблицы!Спасибо за повторение))
Теперь хоть сессию на 1 курсе закрою))

Нащёт интегр.

Нащёт интегр. по частям, дробно-рацион. и дробно-иррациональных интегр. не вкупил, а так впринципе доходчиво

nicheqo ne

nicheqo ne ponela(((((((((((vot esli i primeri bili bili bi,bilo bi otlichno

пффф, чтоб я

пффф, чтоб я здох. Пора сапогичистить учится(((

Жаль что я не

Жаль что я не парень xD

Читал... читал...

Читал... читал... И не понял( Завтра контрольная, и в голове пусто. Хоть бы решение было. От одной теории мне толку очень мало

пример на

пример на площадь не очень, не могли бы вы переделать его с линейной функцией y=x, а то так слишком просто.

Супер! Очень

Супер! Очень доступно! Спасибо огромное!

теория хорошая,

теория хорошая, я тоже поняла с чем едят интеграл, но все же как его находить, если например он рациональный? там надо применять всякие А В С Д и все такое (это не сложно) но дальше

Это конечно всё

Это конечно всё здорово, но я ничего не понял как решать интеграл... Что и куда подставлять... Как решать их.... Хоть бы кто добавил подробный описанный и илюстрированный пример.... А лучше несколько примеров.... А-то не то, что с 8-го... С 126-го раза люди не сдадут предмет...

Статья хороша,

Статья хороша, написана доходчиво.
Одно плохо - грамматика страдает. Глаголы "сводиться" и "становиться" пишутся БЕЗ "Ь". Проверка - что делает?, т.е. "сводится" и "становится ". Становиться в очередь (что делать?), а преобразуется - становится.
Господи, половина инета пишет с этой ошибкой.

Спасибо но мне

Спасибо но мне ща больше поможет какое нибудь чудо чем эта информация(((((((((((((

Не понял,

Не понял, печально, уже не знаю, как мне с этим разобраться

хах :) Спасибо

хах :)
Спасибо огромное :))
Теперь я точно пересдам экзамен.. раза с 8го... :D

СПАСИБО! этот

СПАСИБО! этот сайт помог наконец то врубиться в матан! ппц я счастлив =))

мде)))) нечего не

мде)))) нечего не понял)) а завтра тест))) ну и хрен сним)) спс))

бооольшое

бооольшое спасибо оч помогло до прочтения вообще не понимал что это и как решать =)

Большое

Большое человеческое Спосибо..
Учебники не воспринемаю а тут всё ясно написано доступным языком.

Такое описание!

Такое описание! Даже я разобрался, спасибо)

через час идти

через час идти на зачет а я так и не понял(

Нам в институте

Нам в институте не хрена их необьяснили скоро экзамен я в этом нуб он трындит на меня что делать ?выы типо должны всё сами искать и учить остальное дело за вами . я нах в иститут шел учится так учите нет они опять за своё

Матан

Матан матан...Как много в этом слове...

Ща глянем че

Ща глянем че тут!!!!=))

Спасибо за

Спасибо за статью, в учебниках такая дребедень написана! Мол, вот тут напишите такЭ\, здесь и так всё понятно, вот вам всё решение, без объяснений!
теперь я хотя бы поняла, что вообще такое интегралы, т.е. саму суть поняла. И таблица очень хорошая, полная.

не училась в

не училась в инсте еще, но теперь и не страшно.. достаточно просто) единственное - путаюсь в обозначениях, чтоб их

да понту нет от

да понту нет от этой статьи ну да стало понятно что из себя представляет интеграл , но не больше, это то же самое что в авто школе учили бы устройству машины но не учили бы на ней ездить ( а вы:"ООО ништяк я знаю как работает машина уху я все теперь понял") я могу без стыда заявить что я нихрена не понимаю как их ршать и не считаю что это как то стремно была бы статья в ЕЩЕ болие понятном формате было бы здорово, и тут люди уже говорили про примеры, вот их то и не хватает, большинство только в поисках примеров натыкается на этот сайт а тут их нету!=) ладно интернет большой может что нибудь да найду=)