Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащее производную или несколько производных неизвестной функции.

Порядок дифференциального уравнения - это порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в это уравнение.

Для того, чтобы уметь решать дифференциальные уравнения, необходимо сначала научиться интегрировать и дифференцировать.

Сперва вернемся к обычным уравнениям, которые состоят из переменных и чисел.
Например, 2x = 6.<.p>
Решить обычное уравнение - значит найти множество чисел, которые удовлетворяют данному уравнению. У этого уравнения имеет один единственный корень х = 3. Подставив данное значение х в уравнение, получим

2*3 = 6

6 = 6 – получили верное равенство, т.е. решение уравнения правильно.

Примерно так же устроены и дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Уравнения вида f ( x, y, ) = 0 называют обыкновенными дифференциальными уравнениями 1-го порядка.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка включает в себя:

• независимую переменную x;
• зависимую переменную y (функцию);
• первую производную функции: .

Иногда в уравнении 1-го порядка отсутствуют х или y, главное, чтобы была первая производная .

Решить дифференциальное уравнение – значит найти множество функций y = f(x) + C, удовлетворяющих этому уравнению. Тогда это множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример.

Решить дифференциальное уравнение x = y.

Сначала перепишем производную в несколько ином виде:

и подставим в наше уравнение:

Теперь посмотрим, удастся ли нам разделить переменные, т.е. в одной части уравнения оставить только x, а в другой – только y. Выполнять разделение можно обычными действиями вынесения за скобки, переноса слагаемых и множителей из одной части уравнения в и т.п.

В нашем уравнении переменные разделяются путем перекидывания множителей с применением правила пропорции:

Т.е. мы получили слева только х, а справа - только y.

Теперь приступим к интегрированию, для этого ставим интегралы в обе части уравнения:

Возьмем данные интегралы. В нашем случае они табличные:

Не забываем приписать константу к любой первообразной. Хотя у нас 2 интеграла, константу C можно добавить один раз. Обычно она ставится в правой части.

После взятия интегралов, дифференциальное уравнение можно считать решенным. Только у нас y не выражен через х, это значит, что решение имеет неявный вид, и такое решение носит название общего интеграла дифференциального уравнения. Таким образом
– это общий интеграл.

Далее необходимо найти общее решение, чтобы функция была представлена в явном виде.

Выполним один распространенный прием – запишем константу также под логарифмом:

,

где – такая же константа, как и C. Это нужно для того, чтобы y можно было выразить намного легче. Для этого воспользуемся свойством логарифмов: . В нашем случае это выглядит так:

Теперь логарифмы и модули можно спокойно убрать из обеих частей:

y = Сх

Как видим, функция представлена в явном виде. Это и будет общим решением.

Множество функций y = Сх, где С = const (постоянная величина), является общим решением дифференциального уравнения x= y.

Подставляя вместо константы С разные значения, мы получим бесконечное количество частных решений дифференциального уравнения. Любая функция вида y = x, y = -2х, y = х/3 и т.д. будет удовлетворять дифференциальному уравнению x= y.

Дифференциальное уравнение можно легко проверить. Для этого возьмем найденное решение y = Сх и найдем производную:

Теперь подставим полученное решение y = Cx и найденную производную = C в исходное уравнение x= y:

х*С = Сх

Сх = Сх

Мы получили верное равенство, т.е. найденное решение является правильным. Иными словами, общее решение y = Cx удовлетворяет уравнению x= y.

Сразу же возникает вопрос – всегда ли можно разделить переменные, как в нашем примере?

Нет, гораздо чаще этого сделать нельзя. Уравнение, которое мы рассмотрели, входит в уравнений, которые носят название «обыкновенные дифференциальные уравнения».

Также, не всегда можно проинтегрировать дифференциальное уравнение, поэтому их решают приближенно с помощью методов Даламбера и Коши.

Рассмотрим еще один пример.

Дано дифференциальное уравнение = -2y.

Требуется найти его частное решение, которое буде удовлетворять начальному условию y(0) = 2. Задачи с такими требованиями как раз и носят название «задача Коши».

Сперва найдем общее решение. Хотя в нашем уравнении отсутствует переменная х, это вас пусть не смущает. Главное, что здесь есть первая производная.

Представим производную в виде:

Как видно, переменные можно разделить, что мы и сделаем:

Проинтегрируем уравнение:

Мы получили общий интеграл. Обозначение
выбрано не случайно, т.к. позднее она превратится в другую константу.

Далее преобразуем общий интеграл в общее решение, т.е.выразим y в явном виде. Для этого воспользуемся свойством: . В нашем случае это выгляди так:

Теперь, используя свойство степеней, представим функцию y в следующем виде:

– это константа, значит – тоже некоторая константа, которую мы обозначим уже с помощью знакомой буквы С:

Такой прием с константой часто используют при решении дифференциальных уравнений.

Таким образом, найдено, общее решение уравнения: , где С = const.

Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Для этого надо подобрать такое значение С, при котором будет выполняться заданное начальное условие y(0) = 2.

Вместо х подставим в общее решение 0, а вместо y - 2:

C = 2

Сделаем проверку:

Теперь в общее решение
подставим найденное значение С = 2:

– это и будет нашим частным решением.

Проведем проверку. Сперва надо проверить, а удовлетворяет ли найденное частное решение начальному условию y(0) = 2? Для этого подставим вместо х 0:

– все верно, начальное условие выполнено.

Далее найдем производную:

Подставим и в исходное уравнение = -2y:

Проверка прошла успешно, т.е. мы нашли верное частное решение.

Далее следуют дифференциальные уравнения n-го порядка, которые относятся к уравнениям высших порядков. В общем случае их решение сводится к понижению порядка.

Пойдем дальше.

Заметка: изучается иностранный язык - звуки английского языка (http://www.english-source.ru/english-linguistics/english-phonetics/128-phonetic-notation) помогут в этом непростом деле.