Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

Неоднородную систему дифуравнений обычно представляют в следующем виде:

В отличие от однородной системы, здесь в каждом уравнении добавляется некая функция, которая зависит от t. Функции f(t) и g(t) могут быть как const, exp, так и sin, cos и т.д.

Пример.

Необходимо найти частное решение системы линейных дифуравнений
при начальных условиях x(0) = 6, y(0) = 5.

Итак, у нас есть линейная неоднородная система дифуравнений, где в качестве f(t) и g(t) выступают константы. Будем использовать метод исключения.

Выразим из первого уравнения системы:

Опять применим маркер * для выделения.

Обе части уравнения дифференцируем по t:

Производная const = 0, поэтому 3 исчезла.

Подставляем и во второе уравнение системы:

Избавимся от дробей, для чего обе части уравнения умножим на 5:

Проведем упрощения:

Итак, мы получили линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Этим и отличается наше решение от решения однородной системы уравнений.

Но иногда, отметим, в неоднородной системе может получиться и однородное уравнение.

Находим общее решение однородного уравнения

Для этого необходимо составить и решить характеристическое уравнение:

– мы нашли сопряженные комплексные корни, поэтому:

.

Теперь займемся поиском частного решения неоднородного уравнения вида .

Находим первую и вторую производную:

Подставляем в левую часть неоднородного уравнения:

Получаем:

Это частное решение можно с легкостью подобрать устно и можно просто записать: «Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения: ».

В итоге:

Найдем функцию y(t).

Для этого найдем производную от найденной функции x(t):

Подставляем и в уравнение (*):

Получаем общее решение системы:

Теперь найдем частное решение, соответствующее начальным условиям x(0) = 6, y(0) = 5:

Получаем:

Ответ: частное решение:

Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)

Этот метод используется крайне редко, но мы все-же рассмотрим его на примере.

Пример.

Дается линейная однородная система дифуравнений

Требуется отыскать общее решение системы уравнений методом Эйлера.

Составим определитель второго порядка:

Далее надо составить характеристическое уравнение, для чего из каждого числа, расположенного на главной диагонали, вычтем некий параметр k:

Раскроем определитель:

Получили квадратное уравнение. Найдем его корни:

В случае, когда характеристическое уравнение имеет 2 различных действительных корня, общее решение системы дифференциальных уравнений будет иметь вид:

Коэффициенты в показателях экспонент мы уже нашли, займемся поиском коэффициентов

Подставим корень в характеристическое уравнение:

Составим систему двух линейных уравнений из чисел определителя:

Из которой получаем:

Подберем наименьшее значение , при котором будет целым. Очевидней всего будет =5, тогда =7/5*5 = 7.

Подставим корень в характеристическое уравнение:

Составим систему двух линейных уравнений из чисел определителя:

Из которой получаем:

Подберем наименьшее значение , при котором будет целым. Очевидней всего будет .

Коэффициенты найдены, подставляем их в систему

Ответ: общее решение:

Chanel Allure (http://духи.рф/catalog/men/Chanel/Allure)

Есть много имен - женские имена русские (http://духи.рф/catalog/men/Chanel/Allure) поражают своей красотой и разнообразием.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---