Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

Неоднородную систему дифуравнений обычно представляют в следующем виде:

Неоднородные системы ДУ

В отличие от однородной системы, здесь в каждом уравнении добавляется некая функция, которая зависит от t. Функции f(t) и g(t) могут быть как const, exp, так и sin, cos и т.д.

Пример.

Необходимо найти частное решение системы линейных дифуравнений
Неоднородные системы ДУ при начальных условиях x(0) = 6, y(0) = 5.

Итак, у нас есть линейная неоднородная система дифуравнений, где в качестве f(t) и g(t) выступают константы. Будем использовать метод исключения.

Выразим из первого уравнения системы:

Неоднородные системы ДУ

Опять применим маркер * для выделения.

Обе части уравнения дифференцируем по t:

Неоднородные системы ДУ

Производная const = 0, поэтому 3 исчезла.

Подставляем Неоднородные системы ДУ и Неоднородные системы ДУ во второе уравнение системы:

Неоднородные системы ДУ

Неоднородные системы ДУ

Избавимся от дробей, для чего обе части уравнения умножим на 5:

Неоднородные системы ДУ

Проведем упрощения:

Неоднородные системы ДУ

Итак, мы получили линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Этим и отличается наше решение от решения однородной системы уравнений.

Но иногда, отметим, в неоднородной системе может получиться и однородное уравнение.

Находим общее решение однородного уравнения Неоднородные системы ДУ

Для этого необходимо составить и решить характеристическое уравнение:

Неоднородные системы ДУ

Неоднородные системы ДУ – мы нашли сопряженные комплексные корни, поэтому:

Неоднородные системы ДУ.

Теперь займемся поиском частного решения неоднородного уравнения вида Неоднородные системы ДУ.

Находим первую и вторую производную:

Неоднородные системы ДУ

Подставляем Неоднородные системы ДУ в левую часть неоднородного уравнения:

Неоднородные системы ДУ

Получаем: Неоднородные системы ДУ

Это частное решение Неоднородные системы ДУ можно с легкостью подобрать устно и можно просто записать: «Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения: Неоднородные системы ДУ».

В итоге: Неоднородные системы ДУ

Найдем функцию y(t).

Для этого найдем производную от найденной функции x(t):

Неоднородные системы ДУ

Подставляем Неоднородные системы ДУ и Неоднородные системы ДУ в уравнение (*):

Неоднородные системы ДУ

Получаем общее решение системы:

Неоднородные системы ДУ

Теперь найдем частное решение, соответствующее начальным условиям x(0) = 6, y(0) = 5:

Неоднородные системы ДУ

Получаем:

Неоднородные системы ДУ

Ответ: частное решение: Неоднородные системы ДУ

Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)

Этот метод используется крайне редко, но мы все-же рассмотрим его на примере.

Пример.

Дается линейная однородная система дифуравнений

Неоднородные системы ДУ

Требуется отыскать общее решение системы уравнений методом Эйлера.

Составим определитель второго порядка:

Неоднородные системы ДУ

Далее надо составить характеристическое уравнение, для чего из каждого числа, расположенного на главной диагонали, вычтем некий параметр k:

Неоднородные системы ДУ

Раскроем определитель:

Неоднородные системы ДУ

Получили квадратное уравнение. Найдем его корни:

Неоднородные системы ДУ

В случае, когда характеристическое уравнение имеет 2 различных действительных корня, общее решение системы дифференциальных уравнений будет иметь вид:

Неоднородные системы ДУ

Коэффициенты в показателях экспонент Неоднородные системы ДУ мы уже нашли, займемся поиском коэффициентов Неоднородные системы ДУ

Подставим корень Неоднородные системы ДУ в характеристическое уравнение:

Неоднородные системы ДУ

Составим систему двух линейных уравнений из чисел определителя:

Неоднородные системы ДУ

Из которой получаем:

Неоднородные системы ДУ

Подберем наименьшее значение Лямбда1, при котором Мю1 будет целым. Очевидней всего будетЛямбда1 =5, тогда Мю1 =7/5*5 = 7.

Подставим корень Неоднородные системы ДУ в характеристическое уравнение:

Неоднородные системы ДУ

Составим систему двух линейных уравнений из чисел определителя:

Неоднородные системы ДУ

Из которой получаем:

Неоднородные системы ДУ

Подберем наименьшее значение Лямбда2, при которомМю2 будет целым. Очевидней всего будет Неоднородные системы ДУ.

Коэффициенты Неоднородные системы ДУ найдены, подставляем их в систему Неоднородные системы ДУ

Ответ: общее решение: Неоднородные системы ДУ

Chanel Allure (http://духи.рф/catalog/men/Chanel/Allure)


Есть много имен - женские имена русские (http://духи.рф/catalog/men/Chanel/Allure) поражают своей красотой и разнообразием.


Если материал был полезен, отблагорить наш сайт вы можете, сделав пожертвование.
Любую сумму на развитие проекта вы можете пожертвовать на данной странице.