Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел.

Понятие замечательных пределов используется на просторах бывшего Советского Союза для обозначения хорошо известных математических тождеств со взятием предела. Замечательны они потому, что они уже доказаны великими математиками и нам нам остается лишь пользоваться ими для удобства нахождения пределов. Из них наиболее известны первый и второй замечательные пределы. Дальнейшее чтение статье будет намного интереснее, если вы уже знакомы с понятием пределов. Если для вас lim , это то что новое, то рекомендуем к прочтению статью "Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов."

Теперь со спокойной душой переходим к рассмотрению замечательных пределов.
Первый замечательный предел имеет вид Первый замечательный предел.

Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к 0.

Пример.

Необходимо вычислить предел Первый замечательный предел

Как видно, данный предел очень похож на первый замечательный, но это не совсем так. Вообще, если Вы замечаете в пределе sin, то надо сразу задуматься о том, возможно ли применение первого замечательного предела.

Согласно нашему правилу №1 подставим вместо х ноль:

Первый замечательный предел

Получаем неопределенность Пределы с неопределенностью.

Теперь попробуем самостоятельно организовать первый замечательный предел. Для этого проведем нехитрую комбинацию:

Первый замечательный предел

Таким образом мы организовываем числитель и знаменатель так, чтобы выделить 7х. Вот уже и проявился знакомый замечательный предел. Желательно при решении выделять его:

Первый замечательный предел

Подставим решение первого замечательного примера и получаем:

Первый замечательный предел

Упрощаем дробь:

Первый замечательный предел

Ответ: 7/3.

Как видите – все очень просто.

Второй замечательный предел имеет вид Второй замечательный предел, где e = 2,718281828… – это иррациональное число.

Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к Бесконечность.

Пример.

Необходимо вычислить предел Второй замечательный предел

Здесь мы видим наличие степени под знаком предела, значит возможно применение второго замечательного предела.

Как всегда воспользуемся правилом №1 – подставим Бесконечность вместо х:

Видно, что при х Стрелка Бесконечность основание степени Второй замечательный предел, а показатель – 4x > Бесконечность, т.е. получаем неопределенность вида 1 в степени бесконечность:

Второй замечательный предел

Воспользуемся вторым замечательным пределом для раскрытия нашей неопределенности, но сначала надо его организовать. Как видно – надо добиться присутствия в показателе, для чего возведем основание в степень 3х, и одновременно в степень 1/3x, чтобы выражение не менялось:

Второй замечательный предел

Не забываем выделять наш замечательный предел:

Второй замечательный предел

Дальше знак предела перемещаем в показатель:

Второй замечательный предел

Ответ: е в степени 4/3.

Вот такие действительно замечательные пределы!
Если у вас остались какие то вопросы по первому и второму замечательным пределам, то смело задавайте их в комментариях.
Всем по возможности ответим.


Также вы можете позаниматься с педагогом по этой теме.


Мы рады предложить вам услуги подбора квалифицированного репетитора в вашем городе. Наши партнеры оперативно подберут для вас хорошего преподавателя на выгодных для вас условиях.

>>>> Просто заполните заявку!


Мало информации? - Вы можете подробнее узнать о сервисе...!

Можно писать математические вычисления в блокнотах. В блокноты с логотипом (http://www.blocnot.ru) индивидуальным писать намного приятней.


Если материал был полезен, отблагорить наш сайт вы можете, сделав пожертвование.
Любую сумму на развитие проекта вы можете пожертвовать на данной странице.

А пределы-то действительно замечательные. Я раньше такого понятия не встречала, но соглашусь, что название подобрано очень правильно. Я так понимаю, что для того, чтобы их использование облегчило решение, нужно их для начала просто "заметить" )))


Что-то я ничего замечательного в этих пределах не заметил. Почему их так называют? Потому что они давно доказаны? Так многие вещи в математике давно доказаны. И называют их аксиомами, если я не ошибаюсь


Ой, а что такое "замечательные пределы" и где вообще они используются? Я если честно, то услышал такое название в первые, потому что в школе точно не проходили. В институте так же не припомню всех этих тонкостей. Расскажите, когда они применяются в жизни?


В чем отличие первого от второго замечательных пределов? Понятно, что уравнения, но в чем их главная разница? И если есть отличия, то как найти их сразу, чтобы долго время не терять и не думать где правильно и где нет.


Да уж смешное немного название - "замечательные" пределы". Вон какую бурю комментариев вызвало. Но вот где применяется первый , а где применяется второй замечательный предел я так и не понял.