Вычисление пределов. Пределы с неопределенностью

Прежде чем рассказать о вычислении пределов с неопределенностью, хочется верить, что у вас уже есть понимание того, что такое предел и как вычислить элементарные пределы. Если такого понимания нет, то сначала прочитайте статью "Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов".
Теперь перейдем к рассмотрению пределов с неопределенностью.

Существует группа пределов, когда x Стрелка Бесконечность, а функция представляет собой дробь, подставив в которую значение х = Бесконечность получим неопределенность вида Пределы с неопределенностью.

Пример.

Необходимо вычислить предел Пределы с неопределенностью

Воспользуемся нашим правилом №1 и подставим Бесконечность в функцию. Как видно мы получаем неопределенность Пределы с неопределенностью.

В числителе находим х в старшей степени, которая в нашем случае = 2:

Пределы с неопределенностью

То же самое проделаем со знаменателем:

Пределы с неопределенностью

Здесь также старшая степень = 2.

Далее надо из двух найденных степеней выбрать самую старшую. В нашем случае степень числителя и знаменателя совпадают и =2.

Итак, для раскрытия неопределенности Пределы с неопределенностью нам потребуется разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени, т.е. на x2:

Пределы с неопределенностью

Ответ: 2/3.

Существуют также пределы с другой неопределенностью - вида Пределы с неопределенностью. Отличие от предыдущего случая лишь в том, что х стремится уже не к Бесконечность, а к конечному числу.

Пример.

Необходимо вычислить предел Пределы с неопределенностью.

Снова воспользуемся правилом №1 и подставим в место х число -1:

Пределы с неопределенностью

Мы получили неопределенность Пределы с неопределенностью, для раскрытия которой необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, для чего в свою очередь обычно решается квадратное уравнение или используются формулы сокращенного умножения.

В нашем случае решаем уравнение:

Пределы с неопределенностью

Находим дискриминант:

Пределы с неопределенностью

Пределы с неопределенностью.

Если корень не извлекается целый вероятней всего D вычислен неправильно.

Теперь находим корни уравнения:

Пределы с неопределенностью

Пределы с неопределенностью

Подставляем:

Пределы с неопределенностью

Числитель разложили.

В знаменателе у нас х + 1, что итак является простейшим множителем.

Тогда наш предел примет вид:

Пределы с неопределенностью

х + 1 красиво сокращается:

Пределы с неопределенностью

Теперь подставим вместо х значение -1 в функцию и получаем:

2*(-1) – 5 = -2 – 5 = -7

Ответ: -7.

Рассмотрим основные положения, применяемые при решении различного рода задач с пределами:

  • Предел суммы 2-х или более функций равен сумме пределов этих функций:

    Пределы - правила

  • Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

    Пределы - правила

  • За знак предела можно выносить постоянный коэффициент:

    Пределы - правила

  • Предел произведения 2-х и более функций равен произведению пределов этих функций ( последние должны существовать):

    Пределы - правила

  • Предел отношения 2-х функций равен отношению пределов этих функций (в том случае, если предел знаменателя Не равно0:

    Пределы - правила

  • Степень функции, находящейся под знаком предела, применима к самому пределу этой функции (степень должна быть действительным числом):

    Пределы - правила

На этом с вычислением пределов с неопределенностью всё. Еще в статье "Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел" мы отдельно рассматриваем интересную группу пределов. Статья вставит еще один блок для решения большинства пределов, встречающихся не просторах обучения.


Если у вас появились какие то вопросы по вычислению пределов с неопределенностью, то задавайте их в комментариях. Будем рады ответить.

Заметка: Если не хватает времени на учебу, вы можете заказать контрольную работу (http://forstuds.ru/kontrolnaya-rabota-na-zakaz), учтите правда наличие знаний по теме у вас после этого.


Если материал был полезен, отблагорить наш сайт вы можете, сделав пожертвование.
Любую сумму на развитие проекта вы можете пожертвовать на данной странице.

Вот с фразы "Воспользуемся нашим правилом №1" поподробнее пожалуйста. У вас есть отдельный список таких правил? Хочу себе сделать как бы карманный мини справочник, чтобы всегда был под рукой.


Я так и не понял как вы числитель разложили, будто колоду карт раскидали и все)