Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов.

Понятие пределов рассмотрим на показательных примерах.

Пусть х – числовая переменная величина, Х – область ее изменения. Если каждому числу х, принадлежащему Х, поставлено в соответствие некоторое число у, то говорят, что на множестве Х определена функция, и записывают у = f(x).
Множество Х в данном случае – плоскость, состоящая из двух координатных осей – 0X и 0Y. Для примера изобразим функцию у = х2. Оси 0X и 0Y образуют Х – область ее изменения. На рисунке прекрасно видно, как ведет себя функция. В таком случае говорят, что на множестве Х определена функция у = х2.

Понятие пределов

Совокупность Y всех частных значений функции называется множеством значений f(x). Другими словами, множество значений – это промежуток по оси 0Y, где определена функция. Изображенная парабола явно показывает, что f(x) > 0 , т.к. x2 > 0. Поэтому область значений будет [0; +Бесконечность]. Множество значений смотрим по 0Y.

Совокупность всех х называется областью определения f(x). Множество определений смотрим по 0X и в нашем случае областью допустимых значений является [-Бесконечность; +Бесконечность].

Точка а (а принадлежит или Не равноХ) называется предельной точкой множества Х, если в любой окрестности точки а имеются точки множества Х, отличные от а.

Пришла пора понять – что же такое предел функции?

Чисто b, к которому стремится функция при стремлении х к числу а, называется пределом функции. Записывается это следующим образом:

Понятие пределов

Например, f(x) = х2. Нам надо узнать, к чему стремится (не равна) функция при х Стрелка 2. Сначала запишем предел:

Понятие пределов

Посмотрим на график.

Понятие пределов

Проведем параллельно оси 0Y линию через точку 2 на оси 0X. Она пересечет наш график в точке (2;4). Опустим из этой точки на ось 0Y перпендикуляр – и попадем в точку 4. Вот к чему стремится наша функция при х Стрелка 2. Если теперь подставить в функцию f(x) значение 2, то ответ будет таким же.

Понятие пределов

Теперь прежде чем перейти к вычислению пределов, введем базовые определения.

Понятие пределов введено французским математиком Огюстеном Луи Коши в XIX веке.

Допустим, функция f(x) определена на некотором интервале, в котором содержится точка x = A, однако совсем не обязательно, чтобы значение f(А) было определено.

Тогда, согласно определению Коши, пределом функции f(x) будет некое число B при x, стремящимся к А, если для каждого C > 0 найдется число D > 0, при котором Функция< C и соблюдается условие 0 < Понятие пределов < D.

Т.е. если функция f(x) при x Стрелка А ограничена пределом В, это записывается в виде

Понятие пределов.

Пределом последовательности Понятие пределов называется некое число А, если для любого сколь угодно малого положительного числа В > 0 найдется такое число N, при котором все значения Понятие пределов в случае n > N удовлетворяют неравенству

Понятие пределов < В

Такой предел имеет вид Понятие пределов.

Последовательность, у которой есть предел, будем называть сходящейся, если нет - расходящейся.

Как Вы уже заметили, пределы обозначаются значком lim, под которым записывается некоторое условие для переменной, и далее уже записывается сама функция. Такой набор будет читаться, как «предел функции при условии…». Например:

Понятие пределов - предел функции Понятие пределов при х, стремящимся к 1.

Выражение «стремящимся к 1» означает, что х последовательно принимает такие значения, которые бесконечно близко приближаются к 1.

Теперь становится ясно, что для вычисления данного предела достаточно подставить вместо х значение 1:

Вычисление пределов

Ответ: -3.

Кроме конкретного числового значения х может стремиться и к бесконечности. Например:


Вычисление пределов

Выражение х Стрелка Бесконечность означает, что х постоянно возрастает и неограниченно близко приближается к бесконечности. Поэтому подставив вместо х бесконечность станет очевидно, что функция 1- х будет стремиться к Бесконечность, но с обратным знаком:

Вычисление пределов

Таким образом, вычисление пределов сводится к нахождению его конкретного значения либо определенной области, в которую попадает функция, ограниченная пределом.

Исходя из вышеизложенного следует, что при вычислении пределов важно пользоваться несколькими правилами:

  1. Сперва попытаемся подставить в функцию число. Результат вычисление и будет ответом.
  2. Если х стремиться не к числу, например в пределах вида Вычисление пределов или Вычисление пределов , то такие пределы решаются сразу, т.к число деленное на бесконечность всегда дает ноль, а деленное на 0 всегда бесконечность. Если у вас затруднено понимание понятий бесконечность и 0 в пределах, то вы можете подставлять вместо бесконечности - бесконечно большое число - например 1000 000, или вместо 0 - бесконечно малое - к примеру 0,000001 и прикинуть к чему будет стремиться ответ.
  3. Есть еще одна интересная группа пределов, где мы и в числите и в знаменателе при подстановке получаем или 0 или бесконечность. Так называемые пределы с неопределенностью, часть из которых замечательные. Их мы рассматриваем отдельно в статьях "Вычисление пределов. Пределы с неопределенностью" и "Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел".

Понимая сущность предела и основные правила вычисления пределов, вы получите ключевое представление о том, как их решать. Если какой предел будет вызывать у вас затруднения, то пишите в комментарии и мы обязательно вам поможем.

Заметка: Юриспруденция - наука о законах, помогающее в конфлитных и других жизненных трудностях.


Если статья вам помогла, то будем рады получить вашу благодарность в виде пожертвования в фонд развития проекта.
Любую сумму на развитие проекта вы можете пожертвовать на данной странице.

Вычисление пределов - это то, что отнимает у меня достаточно много сил. Никак не могу до конца понять, как же пользоваться правилами вычисления пределов. Все-таки математика - непростая наука(((


Подскажите на каком курсе изучают понятие пределов? В школе я такого не помню, а в институте пока такого еще не было. Я что-то пропустила?


Если понимать все значения Х и уметь составлять еще их таблицы, чтобы были видны к чему именно идем и для чего рисуется неровная кривая. Назову ее так. Хотя в школе было всегда мне интересно определить где именно линия должна идти вверх и в какой части график опускается.


Как найти предельную точку? Получается, что нужно найти предел и как говорится его понять. Может ли быть их несколько штук? Интересно знать все эти тонкости, чтобы было все предельно ясно.


Вычисление пределов в принципе дело не сложное, просто требует максимальной усидчивости и сосредоточенности, чего нам так обычно не хватает.