Решение неравенств. Доступно о том, как решать неравенства.

В статье рассмотрим решение неравенств. Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств, на понятных примерах!

Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.

Общи сведения о неравенствах

Неравенством называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, <, Знак неравенства, «Знак. Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя - тройными и т.д. Например:
a(x) > b(x),
a(x) < b(x),
a(x) Знак неравенстваb(x),
a(x) Знак неравенстваb(x).
a(x) < c(x) < b(x) - двойное неравенство.
Неравенства, содержащие знак > или < , называются строгими, а неравенства, содержащие
Знак неравенства или Знак неравенства - нестрогими.
Решением неравенства является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
"Решить неравенство" означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств. Для решения неравенства пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства x > 3 есть промежуток от 3 до +Бесконечность в Неравенстве, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
Бесконечность в Неравенстве Формула Неравества + Бесконечность в Неравенстве
Ответ будет следующим: xПринадлежность в Неравенстве (3; +Бесконечность в Неравенстве).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности Бесконечность в Неравенстве всегда выделяется круглой скобкой. Знак Принадлежность в Неравенстве означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком Знак неравенства:
xЗнак неравенства 2
-Бесконечность в Неравенстве Формула Неравества+Бесконечность в Неравенстве
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.
Ответ будет следующим: xПринадлежность в Неравенстве [2; +Бесконечность в Неравенстве).

Свойства неравенств

Выделяют три основных свойства неравенств:

  1. Можно перенести любой член неравенства из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.
  2. Пример:
    Зх + 5 > х2
    равносильно Зх - х2 + 5 > 0, при этом x2 был перенесен с противоположным знаком.

  3. Можно умножать или делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, при этом знака неравенства не меняется.
  4. Пример:
    9х - 3 > 12х2
    равносильно 3х - 1 > 4х2, при этом обе части первого неравенства были разделены на положительное число 3.

  5. Можно умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства меняется на противоположный.
  6. Пример:
    -2х2 - Зх + 1 < 0 равносильно 2х2 + Зх - 1 > 0, при этом обе части первого неравенства умножили на отрицательное число -1, и знак неравенства изменился на противоположный.

Решение систем неравенств

Системой называется запись нескольких неравенств, обозначенная фигурной скобкой, при этом количество и вид неравенств, входящих в систему, может быть любым. Решением системы неравенств является пересечение решений всех неравенств, входящих в эту систему. Например, двойное неравенство f(x) < g(x) < h(x) записывается следующим образом:Формула Неравества
Пример.


Требуется решить следующую систему неравенств Формула Неравества

Решение:
Формула Неравества

Система аналогична неравенству х > 1, поэтому ответ: xПринадлежность в Неравенстве (1; +Бесконечность в Неравенстве).

Решение линейных неравенств

Линейным называется неравенство вида ax>b, при этом знак неравенства может быть любым.
Допустим a>0, тогда ax>b равносильно Решение линейных неравенств, таким образом множество решений неравенства является промежуток Формула Неравества.
Допустим a>0, тогда ax>b равносильно Формула Неравества, таким образом множество решений неравенства является промежуток Формула Неравества.
Если же a=0, тогда 0*x>b, т.е. неравенство не имеет решений при bЗнак неравенства0, и верно при любых х при b<0.

Решение квадратных неравенств

Квадратным называется неравенство вида ax2 + bx + c > 0, в котром a, b, c – некоторые действительные числа и aФормула Неравества0
Простейшими квадратными неравенствами являются неравенства x2 < m и x2 > m
Множество решений неравенства x2 < m:

  1. при m< 0 нет чисел, которые в квадрате дают отрицательное число (т.е. нет решений)
  2. при m>0 xПринадлежность в Неравенстве (-Формула Неравества; Формула Неравества), т.е. -Формула Неравества < x < Формула Неравества или Формула Неравества<Формула Неравества.

Множество решений неравенства x2 > m:

  1. при m<0 xПринадлежность в НеравенствеR (т.е. x - любое действительное число);
  2. при m>0 xПринадлежность в Неравенстве (-Бесконечность в Неравенстве; - Формула Неравества) Неравенства (Формула Неравества; +Бесконечность в Неравенстве), т.е. -Бесконечность в Неравенстве < x < - Формула Неравества и Формула Неравества < x < +Бесконечность в Неравенстве или Формула Неравества > Формула Неравества.

Решение более сложных квадратных неравенств сводиться к простому переводу выражения вида
ax2 + bx + c > 0
в неравенство
(x-x1)(x-x2) > 0 , где x1 и х2 - корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
Полученное неравенство мы раскладываем таким же образом на систему простых неравенств и легко находим решение.

Решение неравенств методом интервалов

Методом интервалов можно Формулу Неравества вида h(x) > 0 (<, Знак неравенства,Знак неравенства) свести к решению уравнения h(x) = 0.
Данный метод заключается в следующем:

  1. Находится ОДЗ неравенства.
  2. Неравенство приводится к виду h(x) > 0(<,Знак неравенства, Знак неравенства) путем упрощения.
  3. Решается уравнение h(x) = 0.
  4. Если на ОДЗ отмечены точки, они ограничивают его и разбивают на интервалы знакопостоянства, при этом знак функции h(х) определяется на каждом таком интервале.
  5. Решением является объединение отдельных множеств, на которых h(x) имеет соответствующий знак. После дополнительной проверки точки ОДЗ, являющиеся граничными, включаются (или не включаются) в ответ.

Метод интервалов основывается на том, что непрерывная функция h(x) меняет знак либо в граничных точках «разрыва» на ОДЗ, либо при переходе через 0, т.е. в тех точках, которые являются корнями уравнения h(x) = 0. В других точках перемены знака не происходит.
Пример.
Решить неравенство Формула Неравества
Решение:
ОДЗ: Формула Неравества откуда имеем xПринадлежность в Неравенстве [-1; 5) Неравенства (5; +Бесконечность в Неравенстве)
Решим уравнение Формула Неравества
Числитель дроби равен 0 при x = -1, это и есть корень уравнения. Отметим найденный корень на числовой прямой (черным кружком, т.к. неравенство нестрогое), предварительно отметив ОДЗ:
Формула Неравества
Чтобы определить знак на промежутке (-1; 5) возьмем число 0, Формула Неравества
Чтобы определить знак на втором промежутке возьмем число 8, Формула Неравества
Точки 0 и 8 выбирались произвольно, но так, чтобы упростить процесс вычисления каждого значения функции.
Ответ: (-5; +Бесконечность в Неравенстве).

Для закрепления темы решения неравенств настоятельно рекомендуем посмотреть наше видео по теме:

На этом пока всё....Надеюсь появилось понимание о том, как решить неравенства. Если всё же остались какие то вопросы по решению неравенств, смело задавайте их в комментариях.
Спасибо

Заметка: выбираете институт? - все институты здесь (http://www.kartaznaniy.ru/vuzy/instituty) .


Если статья вам помогла, то будем рады получить вашу благодарность в виде пожертвования в фонд развития проекта.
Любую сумму на развитие проекта вы можете пожертвовать на данной странице.

Свойства неравенств так сложно написаны, но если все это понимать, то решается уравнений просто и быстро. Главное только все это понять. Именно в этом и присутствует определенная сложность. Если сам умеешь разбираться, то отлично. Но я понимаю лишь тогда, когда разъяснят на пальцах.


Неравенство бывает и в жизни и как раз эти значения помогают совместить порой не совместимые значения. Так что это скорее не решение, а помощник при сопоставление каких-то вариантов неравенств.


Вот фраза ""Решить неравенство" означает, что надо найти множество всех его решений" меня просто морально убивает. Для человека отдаленного от математики совершенно не понятно словосочетание "множество решений"?!


Допустим тебе надо решить неравенство х>3, то получается, что все что больше 3-х (трех) и есть решение неравенства (т.е. 4>3,5>3,10>3 и т.д.). Вот и получается множество решений (т.е. 4,5,6,7 и т.д. до бесконечности =)). Так понятней ? =)


Решение неравенств пожалуй один из самых доступных человеческому пониманию разделов. Только неравенства мне давались с такой легкостью.


Решение неравенств методом интервалов для меня более менее понятно, а вот решение квадратных неравенств это конечно сложный вопрос. Если есть аналогичный пример, у меня получится, но если нет - просто в ступор впадаю!


А для меня и квадратные неравенства и методом интервалов все равно темный лес. А на счет примеров несогласен, иногда даже на примере сложно понять, откуда какая цифра взялась.


Могу так сказать, для успешного решения неравенств необходимо практиковаться. От самых простых к самым сложным и только тогда все получится. если сразу браться за квадратные, то ничего не получится, только больше запутаетесь.


Плохо, что здесь только общие сведения, а примеров нет. Вот с примерами эти сведения быстрее бы усваивались))))


Очень доступно, ничего лишнего и по делу всё.