Разложение многочлена на множители

В алгебре при вычислении неравенств, уравнений , бывает нужно раскладывать многочлен на множители. Разложить многочлен на множители значит превратить сумму неизвестных в произведение. С помощью этого способа решаются уравнения степени n. типа Рn(y) = 0 , а так же неравенства типа Рn(y) больше ноля и Рn(y) меньше ноля. Где Рn(y) -многочлен n степени, т.е.

Рn(y) = z1 уn + zn-1 уn-1 + ....+ z1 у + z0

Приведем несколько способов разложения

1) Вывод за скобку единого для всех множителя

Если все многочлены имеют единый для всех множитель, мы, при вынесении его за скобку получим то что хотим.

у3 - 5 у2 + 2у

в данном примере у нас общий множитель y , при выносе его за скобку мы получим:
у3 - 5 у2 + 2у = уn (y - 5у + 2)

2) С использованием формул сокращенного умножения

у2 - z2 = (y - z) (y +z)
у3 + z3 = (y + z) (у3 - yz + z2)
у3 - z3 = (y - z) (у2+ yz + z2)
у4 - z4 = (у2 - z2) (у2+ z2)
у5 - z5 = (y - z) (у4 + у3z + у2z2+ y z3 + z4)
.....................................
уn - zn = (y - z) (уn-1 + уn-2z + уn-3z2+ ... + у2zn-3 + y zn-2 + zn-1)

Применяем формулу у3 - z3 = (y - z) (у2+ yz + z2)

на примере (4y-3) 3- (2y-1) 3


Получаем: (4y-3) 3- (2y-1) 3=((4y-3) - (2y-1))(( 4y-3) 2 +(4y-3)(2y-1) + (2y-1) 2= (2y-2)(16у2-24у+9+8у2-6у-4у+3+4у2-4у+1)= (2у-2)(28у2-38у+13)

3) Разложение квадратного трехчлена на множители

Бывают случаи когда трехчлен можно разложить на множители с помощью метода извлечения квадрата, после чего используем формулу разности квадратов.
Разберем: у4 + 6у2 - 10
Получаем:
у4 + 6у2 - 10 = (у2) 2 + 2 * 3 * у2 + 3 2 - 3 2 - 10 = (у2 + 3) 2 - (корень19)2 = ( у2 + 3 - корень19)( у2 + 3 + корень19)
Вот таким образом раскладывается на множители квадратный трехчлен.

4) Группировка .

данный способ часто сотрудничает с первым способом, т.е выводом за скобку единого для всех множителя. Она дает нам перестановку слагаемых в многочлен и соединение в группы так, что бы после вынесения получилось выражение, которое будет общим множителем для каждой из них.
Разберем: у4-5у23-5у
Далее: у4-5у23-5у=(у4-5у2)+(у3-5у) из 1 скобки убираем у2, у - выносим из второй: (у4-5у2)+(у3-5у)=у22-5)+у(2-5)
Выносим за скобки у2-5 у нас получается: у22-5)+у(у2-5)=(у2-5)(у2+у),
в конце выносим у: (у2-5)(у2+у)= у(у2-5)(у+1)

5) Способ неопределенных коэффициентов.

Данный способ говорит о том, что в начале подразумевается ряд множителей, на которые разделяется многочлен, разгадывается, а их же коэффициенты находим путем умножения и если степени их переменной одинаковы, то приравниваем их. Опорой для этого способа ниже следующее:
- когда коэффициенты двух многочленов одинаковы, только тогда они равны.
- любой многочлен в третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного сомножителей;
- в произведение нескольких многочленов второй степени разлагается любой многочлен четвертой степени.
6) Комбинирование разных способов.
В разных случаях приходится воспользоваться сразу несколькими видами разложения многочлена. это дает нам быстроту решения

7) разложение в ряд фурье

Что бы разобрать этот способ, существует отдельная тема. Этот метод требует большой концентрации внимания, если существуют отвлекающие факторы, лучше не трогать этот метод.

Здесь Вы сможете посмотреть Подлинную Таблицу Менделеева (http://www.glubinnaya.info/science/rodionov-podlinnaya-tablica-mendeleeva-1906-5367.html). Оригинал статьи находится на сайте glubinnaya.info.


Если статья вам помогла, то будем рады получить вашу благодарность в виде пожертвования в фонд развития проекта.
Любую сумму на развитие проекта вы можете пожертвовать на данной странице.

Так и не научилась использовать формулы сокращенного умножения. Пришла к выводу что могу решать только примеры полностью идентичные ранее решенным. Скорее всего мало практики.


Разложение многочлена на множители позволяет существенно облегчить решение уравнения. Мне очень нравились такие примеры и уравнения в школе, по ним всегда хорошие оценки были, ах))))


Когда теорию читаешь с формулами не совсем разбираешься, а когда на примерах картинка то проясняется. Даже не знал что существует столько способов разложения.


Вроде бы и понимаю смысл разложения многочлена на множители, а вроде бы и нет. Слишком длительное решение так получается, а другого пути все равно нет.