Значение тригонометрических функций

Кому-то тригонометрия покажется слишком мудреной – сплошные синусы и косинусы. Но стоит в ней поглубже разобраться и все становится проще простого, некоторым она даже понравится.

Так с чего же начать? А начнем мы с того, что науке этой не одна сотня лет, двадцать веков люди колдуют над ней. В переводе с латыни на современный лад тригонометрия означает решение треугольников или выведение всех его сторон, углов и прочих элементов на основании имеющихся данных. Само слово «тригонометрия» созвучно уже c хорошо знакомой всем геометрией. Оказывается они похожи не только на слух, но и напрямую связаны. Но, все по порядку…

Тригонометрические функции

Для наглядности изобразим прямоугольный треугольник, в котором стороны обозначим а, в, с и выберем один из острых углов – х:

Тригонометрия

В прямоугольном треугольнике, как вы помните, стороны, образующие прямой угол, называются катетами, в нашем случае это а и в, третья сторона с – это гипотенуза.

Так вот, еще в древности люди заметили любопытную вещь. Проследим их действия. Сперва измерим сторону в, допустим она будет 4см. Теперь а – пусть ее длина 3см. Ну а теперь разделим длины сторон а и в, т.е. возьмем их отношение и получим а/в = 3/4.

Если хотите, сделайте наоборот, разделите в на а - особой роли это не играет. Получаем 4/3. Можно и в разделить на с, но тогда надо точно знать длину гипотенузы. В общем, подойдет любой вариант.

Теперь возьмем и увеличим наш треугольник, но только так, чтобы угол х не менялся и треугольник оставался прямоугольным. Изменившиеся стороны а, в и с обозначим соответственно m, n, k.

Тригонометрия

Стороны треугольника изменились, а вот их отношения – нет!

Было а/в = 3/4, получилось m/n = 6/8 = 3/4. Это же справедливо и для других сторон. Можно свободно изменять длину сторон в прямоугольном треугольнике - уменьшать, увеличивать, но обязательно оставлять неизменным угол х – отношения сторон не изменятся. Вот такую вот закономерность и заметили древние математики. Любопытно, не правда ли?

Но как только мы затронем угол х, сразу все отношения сторон меняются. И это имеет большое значение.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике при неизменном угле отношения сторон не зависят от длин этих сторон, но резко становятся зависимы от этого самого угла!

Вот здесь нам предстоит первое знакомство.

Синусом угла хназывается отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе:

sin x = а/с

Косинусом угла хназывается отношение прилежащего (ближнего) катета к гипотенузе:

cos x= в/с

Тангенсом угла хназывается отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему:

tg x = а/в

Котангенсом угла хназывается отношение прилежащего (ближнего) катета к противолежащему:

ctg x = в/а

Чтобы легче было запомнить, отметим для себя, что в тангенсе и котангенсе заложены отношения катетов, а в синусе и косинусе еще и гипотенуза появляется.

Как видите – ничего сложного. Все эти непонятные синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы – это просто некоторые безразмерные числа. Для каждого угла – свои.

Кстати, может вы заметили – мы не трогали отношения гипотенузы к катетам, потому как в школьной программе они не рассматриваются и мы не станем, хотя называются они не менее мудрено - секанс и косеканс.

Если собрать в кучу все наши синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы мы получим так называемые тригонометрические функции.

Каждое из определений всех тригонометрических функций надо знать назубок, потому что они понадобятся нам в дальнейшем для решения разного рода задач.

И еще один немаловажный момент - угол и его тригонометрические функции крепко-накрепко связаны друг с другом. Это значит, что каждому углу соответствуют свои синус и косинус, и почти каждому - свой тангенс и котангенс. Принято считать, что если у нас есть угол, то его синус, косинус, тангенс и котангенс автоматически становятся известны! Это же утверждение выполняется и в обратном порядке - дан синус, косинус или еще какая-нибудь тригонометрическая функция – значит, известен и угол. Для каждого угла создали специальные таблицы, в которых разложены его тригонометрические функции. Называются они - таблицы Брадиса, причем составлены они еще до появления компьютеров, и даже калькуляторов.

Знать тригонометрические функции всех углов совсем необязательно, да и вряд ли кому по силам, а вот для определенных запомнить все же придется.

Рассмотрим первый пример.

Из условий задачи дан только рисунок:

Тригонометрия

И больше ничего. Требуется найти длину короткого катета ВС.

Все-таки кое-какую информацию все же еще можно выудить. Сетка явно нам для чего-то дана, вот к ней и привяжемся. Как видим – гипотенуза занимает 8клеток.

Вот здесь вспоминаем магическое заклинание «мне известен угол – значит мне известны его тригонометрические функции». Но какую из них выбрать? Нам надо найти прилежащий катет. Вспоминаем, в каком из определений он упоминается. Конечно же – косинус. Вот его то и будем использовать. Итак, исходя из определения косинуса:

Cos602 = ВС/AC

Примем АС длиной в 8 клеток, получим:

Cos600=ВС/8 = 1/2 (это одно из табличных значений, которые надо знать)

Получаем ВС = 4.

Как видим все очень просто. До поры, до времени…

А что, если наш угол х (смотрим рисунок выше) сделать тупым? Сразу пропадут и катеты, и гипотенуза. Откуда брать синус? Если бы выход из этого положения не был бы найден, мы так и продолжали бы сидеть в средневековье и не узнали бы всех прелестей радио и телевидения, не существовало бы понятия интернет, да что там говорить – сидели бы при факелах и свечках – электричества-то тоже бы не было. А все потому, в основе всех этих благ цивилизации лежат уже знакомые нам тригонометрических функции. Но мы с вами общаемся, значит предки все-таки постарались. Как же им это удалось? Значение тригонометрических функций понимаешь только тогда, когда погружаешься в тонкости той или иной области нашей жизни. Если сказать на молодежном сленге – математика «рулит»!




Если статья вам помогла, то будем рады получить вашу благодарность в виде пожертвования в фонд развития проекта.
Любую сумму на развитие проекта вы можете пожертвовать на данной странице.

Всегда путаю синус с косинусом когда в тестах попадается определение. Сколько заново тесты не проходил все равно путаю, хоть плачь! Может есть какая нибудь хитрость, чтобы раз и на всегда запомнилось?!


Вы что?! Как могут функции понравится??????У меня это самая нелюбимая часть математики((((


Мне кажется нет на свете ученика. который бы не путал периодически синус с косинусом. По крайней мере у нас в классе все синхронно на тестах засыпались(((((