Основные тригонометрические формулы

В самом начале этой статьи мы с Вами рассмотрели понятие тригонометрических функций. Основное назначение их назначение – это изучение основ тригонометрии и исследование периодических процессов. И тригонометрический круг мы не зря рисовали, потому что в большинстве случаев тригонометрические функции определяются, как отношение сторон треугольника или его определенных отрезков в единичной окружности. Так же я упоминал о неоспоримо огромном значении тригонометрии в современной жизни. Но наука не стоит на месте, в результате мы можем значительно расширить область применения тригонометрии и перенести ее положения на вещественные, а иногда и на комплексные числа.

Формулы тригонометрии бывают нескольких видов. Рассмотрим их по порядку.

  1. Соотношения тригонометрических функций одного и того же угла

  2. Здесь мы подошли к рассмотрению такого понятия как основные тригонометрические тождества.

    Тригонометрическое тождество - это равенство, которое состоит из тригонометрических соотношений и которое выполняется для всех значений величин углов, которые входят в него.

    Рассмотрим наиболее важные тригонометрические тождества и их доказательства:

    Тригонометрия

    Первое тождество вытекает из самого определения тангенс.

    Возьмем прямоугольный треугольник, в котором имеется острый угол х при вершине А.

    Тригонометрия

    Для доказательства тождеств необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:

    (ВС) 2 + (АС) 2 = (АВ) 2

    Теперь разделим на (АВ) 2 обе части равенства и припомнив определения sin и cos угла, мы получаем второе тождество:

    (ВС) 2/(AB) 2 + (AC) 2/(AB) 2 = 1

    sin x = (BC)/(AB)

    cos x = (AC)/(AB)

    sin2 x + cos2 x = 1

    Для доказательства третьего и четвертого тождеств воспользуемся предыдущим доказательством.

    Для этого обе части второго тождества разделим на cos2 x:

    sin2 x/ cos2 x + cos2 x/ cos2 x = 1/ cos2 x

    sin2 x/ cos2 x + 1 = 1/ cos2 x

    Исходя из первого тождества tg x = sin х /cos x получаем третье:

    1 + tg2 x = 1/cos2 x

    Теперь разделим второе тождество на sin2 x:

    sin2 x/ sin2 x + cos2 x/ sin2 x = 1/ sin2 x

    1+ cos2 x/ sin2 x = 1/ sin2 x

    cos2 x/ sin2 x есть не что иное, как 1/tg2 x, поэтому получаем четвертое тождество:

    1 + 1/tg2 x = 1/sin2 x

    Пришла пора вспомнить теорему о сумме внутренних углов треугольника, которая гласит, что сумма углов треугольника = 1800. Получается, что при вершине В треугольника находится угол, величина которого 1800 – 900 – х = 900 – х.

    Тригонометрия

    Опять вспомним определения для sin и cos и получаем пятое и шестое тождества:

    sin x = (BC)/(AB)

    cos(900– x ) = (BC)/(AB)

    cos(900– x ) = sin x

    Теперь выполним следующее:

    cos x = (AC)/(AB)

    sin(900– x ) = (AC)/(AB)

    sin(900– x ) = cos x

    Как видите – здесь все элементарно.

    Существуют и другие тождества, которые используются при решении математических тождеств, я приведу их просто в виде справочной информации, потому как все они проистекают из вышерассмотренных.

    Тригонометрия

  3. Выражения тригонометрических функций друг через друга

    (выбор знака перед корнем определяется тем, в какой из четвертей круга расположен угол ?)

  4. Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

  5. Далее следуют формулы сложения и вычитания углов:

  6. Тригонометрия

  7. Формулы двойных, тройных и половинных углов.

    Замечу, что все они проистекают из предыдущих формул.

  8. sin 2х =2sin х*cos х

    cos 2х =cos2х -sin2х =1-2sin2х =2cos2х -1

    tg 2x = 2tgx/(1 - tg2 x)

    сtg 2x = (сtg2 x - 1) /2сtg x

    sin3х =3sin х - 4sin3х

    cos3х =4cos3х - 3cos х

    tg 3x = (3tgx – tg3 x) /(1 - 3tg2 x)

    сtg 3x = (сtg3x – 3сtg x) /(3сtg2 x - 1)

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

  9. Формулы преобразования тригонометрических выражений:

  10. Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

    Тригонометрия

Когда-то, будучи школьником, я с удовольствием применял эти формулы для решения различного рода задач, как то упростить выражение или решить уравнение. Главное разглядеть - куда и какую формулу необходимо применить, и тогда многоярусная конструкция превращается в обычное числовое выражение. Очень полезная штука для развития логического мышления!

Заметка: Хотите изучить английский онлайн - рекомендую (http://www.edu-station.ru/)




Если материал был полезен, отблагорить наш сайт вы можете, сделав пожертвование.
Любую сумму на развитие проекта вы можете пожертвовать на данной странице.

Очень жаль, что вы к этим основным тригонометрическим формулам по нескольку примеров не привели. Таким далеким ученикам как я необходимо только все на примерах показывать к сожалению.


Натик, полностью с тобой согласна. Сами формулы не сложные и легко запоминаются, а вот как с их помощью решать - фиг поймешь, если примера перед глазами лежать не будет.


Совет для тех, кто будет поступать в вуз. Если не хотите запоминать и зубрить эти тождества, то хотябы выпишите их себе на лоб или плотную бумагу, которая не потеряется, они вам еще ой как пригодятся!!!!


Тем кто будет в колледжах в этом году проходить тесты советую обратить внимание на формулы сложения и вычитания углов. В тестах они попадаются раза два или три.


я правильно понимаю, основных всего шесть получается, а остальные - это уже производные от первых?! Или просто это еще дополнительно вагон формул?