Логарифмы. Натуральный логарифм, десятичный логарифм.

Логарифмы и их свойства широко применяются в математике для решения разного рода задач, причем проистекают они из достаточно простых основ.

Возьмем для наглядности простой пример, который можно решить в уме:

2^x = 4

В этом уравнении х стоит в показателе степени, поэтому такое уравнение называется показательным. Для его решения достаточно в уме подобрать нужный х, это будет 2, ведь 2² = 4.

Попробуем усложнить задачу:

2^x = 3

Здесь сходу подобрать х не получиться. Как быть? Понятно, что х находится между 1 и 2 (2¹ = 2 и 2² = 4), т.е. целое число не подходит. Вот тут-то и вступают в роль логарифмы. Что же это такое?

Взглянем еще раз на наше уравнение:

2^x = 3

х - это такое число, в которое надо возвести 2, чтобы получилось 3. Назовем это число логарифмом трех по основанию два, а выглядит это так:

х = log₂3

Число 2 – называется основание логарифма, по смыслу слова уже понятно, что находится оно снизу, поэтому и в логарифме записывается снизу.

Вот это и будет нашим ответом: х = log₂3. Причем, если представить его в числовом виде, то получится 1,5849625007212, причем это иррациональное число, которое никогда не кончается. Поэтому логарифмы в числовом виде обычно и не записывают, если надо посчитать воспользуемся калькулятором. Но если, все-таки, логарифм вычисляется, как например х = log₂4, то его надо посчитать и записать уже в виде числа - log₂4 = 2. Собственно, это и есть решение логарифмов.

Теперь рассмотрим, как звучит общепринятое определение логарифма. Логарифм положительного числа b по основанию а (а>0, a 1) - это показатель степени с, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b.

log_ab = c a^c = b (b > 0)

Из вышерассмотренных примеров получим основное логарифмическое тождество:

a = b (a > 0, a 1, b > 0)

Есть у логарифмов и свои особенности, из которых ограничения – самое важное.

Запишем логарифм согласно определения:

log_ab = c или c = log_ab

Каким может быть а, какое из чисел ему подходит? Один в любой степени дает один, поэтому при любых с ответ будет 1. Такая же ситуация будет, если взять ноль. Т.е. 0 и 1 не годятся в качестве основания. С отрицательные числами тоже не все гладко – не в каждую степень их можно возводить, поэтому их тоже исключим из рассмотрения.

Теперь понятно, почему в определении ставиться такое ограничение: а > 0, a 1.

Если же положительное число возвести в любую степень, то всегда получится положительное число, поэтому: b > 0.

Вот в этом и заключаются все ограничения, которые касаются только а и b, с ничем не ограничивается. Эти ограничения имеют большое значение при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Рассмотрим еще некоторые понятия.

В математике чаще всего используют два основания: 10 и е = 2,71828182845..., так называемое иррациональное число. В случае, когда применяется основание 10, логарифм меняет форму записи:

log₁₀b = lgb

и называется десятичный логарифм.

В случае применения е:

log_eb = lnb

и называется натуральный логарифм.

В остальном это обычные логарифмы и решаются так же, как и остальные.

Заметка: срочный нотариальный перевод (http://www.amira24.ru/uslugi/notarialnyj-perevod/) поможет решить все юридические заминки.