Неопределённый интеграл: в поисках универсального метода.

Практически каждый студент, который обучается высшей математике или же математическому анализу, знает, насколько сложным бывает подчас вычисление неопределённых интегралов. Стоит отметить, что этот раздел – один из самых сложных для восприятия, и многое в нём строится исключительно на интуиции решающего. Очевидно, что математика, эта наука точных формул и однозначных выводов, кажется новичку совершенно несовместимой с расплывчатым словом «интуиция», однако же не станем торопиться с выводами.

Если неискушённый читатель откроет учебник математики, то увидит целую плеяду методов нахождения неопределённых интегралов. Это и внесение под знак дифференциала, и подстановки Эйлера, Чебышева, универсальная тригонометрическая подстановка, интегрирование по частям и так далее. Ну, а если новичок возьмет в руки солидный справочник, то, полагаю, сможет насчитать около полутысячи (и это не предел) формул готовых интегралов,  которые принято называть «табличными». В свете такого изобилия постановка вопроса о какой-то неопределённости кажется совершенно надуманной.

А теперь задумаемся на минутку. Почему, например, нет таких массивных таблиц производных? Почему нет таблиц умножения многозначных чисел (точнее, они были популярны лет 30-40 назад, сейчас их уже не найдёте)? Ответ прост: для умножения чисел есть правило. Универсальное правило. Это универсальное правило работает вне зависимости от того, нужно ли нам перемножить 25 на 47 или 189 на 1457. Нам нет необходимости задавать правила для каждой пары перемножаемых чисел. То же самое касается и производных, для нахождения которых есть небольшой набор простых и универсальных формул.

Вернёмся к неопределённым интегралам. Обилие частных методик, предназначенных для вычисления этих интегралов, как раз и говорит о том, что универсального способа нет. Есть несколько частных, жёстко ограниченных своими рамками применимости случаев, которые используются только для своего класса примеров. Естественно, что эти классы стараются сделать как можно более объемными. К методам, использование которых позволяет обеспечить нахождение интеграла довольно широкого класса функций, относится интегрирование рациональных функций (рациональных дробей). Практически все подстановки (подстановки Чебышева, Эйлера, универсальная тригонометрическая и т.д.) выполняются с таким расчётом, чтобы после преобразования под интегралом возникла рациональная дробь. Почему? Потому, что эту дробь можно гарантированно проинтегрировать, какой бы громоздкой она ни была.

Но что делать, если интеграл не подпадает ни под один из заранее определённых классов? Вот тут и вступает в действие то, что ранее было названо интуицией. Для человека нет универсального, всеобъемлющего метода нахождения неопределённых интегралов. Конечно, для программ компьютерной математики (Mathcad, Maple и подобные) применяются алгоритмы вычисления упомянутых интегралов в символьном виде. Можно предположить, что это модификации алгоритма Риша, разработанного в середине прошедшего столетия. Однако для человека данный алгоритм не пригоден, – да и машинная реализация его не всегда даёт однозначный результат. К сожалению, сейчас, как и двести лет назад, для изучающего интегральное исчисление есть только один метод – решить как можно больше интегралов, «набить руку» на стандартных примерах. Тогда есть шанс, что при интегрировании незнакомой функции получится «увидеть» нужную подстановку.