Находим Наибольший Общий Делитель и Наименьшее Общее Кратное!

В статье обсудим 2 очень важных понятия: наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД). Поговорим, зачем они нужны и доступно объясним, как находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное на простых и понятных примерах.
Начнем с определений.

Наибольший общий делитель – это наибольшие число, на которое можно поделить исходные числа без остатка.
К примеру, возьмем числа 6 и 18. Они оба делятся без остатка на 1, на 2, на 3 и на 6.
Наибольшее из перечисленных чисел 6. Это и есть наибольший общий делитель для чисел 6 и 18.

Наименьшее общее кратное – это наименьшее число, которое делиться на исходные числа без остатка.
Возьмем те же числа 6 и 18. Самое очевидно число, которое делиться на оба числа без остатка это число, равное их произведению.
6*18 = 108
Однако число 54, тоже делиться на оба числа без остатка. 54:18=3 и 54:8=7 .
Также число 18 делиться и на 18 и на 6.
Оно и есть самое наименьшее из возможных, поскольку число меньшее 18(17, 16 и т.д) на 18 нацело мы поделить не сможем, получиться дробь.
Таким образом, для чисел 6 и 18 наименьшее общее кратное 18.

Для чего нам нужно уметь находить общие наибольший делитель и наименьшее кратное?
Без них мы не сможем выполнять элементарные операции с дробями.
К примеру, нам нужно сократить дробь.
6/18 . Для того, чтобы сократить эту дробь нам достаточно для числителя и знаменателя найти наименьший общий делитель и поделить и числитель, и знаменатель на него.
Мы знаем, что для чисел 6 и 18, НОД = 6.
Таким образом,
6/18 = (6:6)/(18:6) = 1/3
Для того, чтобы элементарно складывать дроби нам необходимо уметь находить наименьшее общее кратное.
Попробуем сложить дроби
1/18 и 1/6, для это находим НОК для знаменателей или так называемый наименьший общий знаменатель.
Для знаменателей 18 и 6 мы уже знаем, что НОК (он же наименьший общий знаменатель) равен 18.
Приводим дроби к общему знаменателю
1/18 + 1/6 = 1/18 + 3/18 = 4/18


Дробь 4/18 можно сократить. НОД для чисел 4 и 18, равен 2.
Таким образом 4/18 = 2/9
В итоге получаем 1/18+1/6 = 2/9
Подробно про решение дробей мы рассказываем в отдельной статье.

Для простых чисел НОД и НОК мы можем находить без труда, если понимаем что это за числа и хорошо знаем таблицу умножения.
Для больших чисел нахождение наибольшего общее делителя и наименьшего общего кратного становиться проблематичным, поскольку в уме такие операции делать сложно.
Для нахождения НОД в данном случае используется алгоритм Евклида.
Для этого мы делим большее число на меньшее, вычисляя остаток. На этот остаток нам нужно поделить число, на которое мы делили до этого. И так мы делим до момента пока в остатке не окажется 0. Последний целый делитель и есть НОД для исходных чисел.
Понять на примере это намного проще, поэтому пример.

К примеру, нам нужно найти НОД для чисел 543 и 465
1. Делим большее на меньшее.
543/465 = 1 + остаток 543-465 = 78 . Оно не равно нулю, продолжаем делить
2. Делим последний делитель (465) на остаток.
465/78 = 5 + остаток 465 – 5*78 = 465-390 = 75. Оно не равно нулю, продолжаем делить
3. Делим последний делитель (78) на остаток.
78/75 = 1 + остаток 78 – 75 = 3. Оно не равно нулю, продолжаем делить
4. Делим последний делитель (75) на остаток.
75/3 = 25 Остаток равен 0.
НОД равен последнему целому делителю 3.

Чтобы найти наименьшее общее кратное для больших чисел достаточно найти наибольший общий делитель. И произведение этих чисел просто напросто поделить на найденный НОД.
К примеру, для наших чисел 543 и 465 , наименьшее общее кратное равно
НОК = 543*465/НОД = 543*465/3 = 84165

Очень важно поставить навык нахождения НОД и НОК для простых чисел и отработать алгоритм Евклида. Прорешайте хотя бы по 10 примеров на каждый случай.
Проверить ответ после решения вы можете воспользовавшись онлайн сервисами, которых достаточно много в интернете.

На этом у нас всё. Удачных решений.
Свои вопросы, если они появились обязательно пишите в комментариях.


Если материал был полезен, отблагорить наш сайт вы можете, сделав пожертвование.
Любую сумму на развитие проекта вы можете пожертвовать на данной странице.