Метод обратной матрицы и как найти обратную матрицу

Решать систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы («найти обратную матрицу») - это не самый удобный способ, но он существует. Нахождение обратной матрицы применимо, если определитель, будучи составлен из коэффициентов при переменных, 0.

Для примера возьмем опять же знакомую нам систему:

Запишем эту систему в матричной форме

A * X = B

Будем искать матицу A¹, обратную к матрице А, с помощью
метода Гаусса

Для этого запишем расширенную матрицу, в которой слева будет находиться наша исходная
матрица А, а справа - единичная.

Используя метод Гаусса, постепенно приведем нашу исходную к единичной матрице. Это
преобразование применим ко всей расширенной матрице.

После приведения левой части расширенной матрицы к единичной, справа окажется матрица,
обратная к нашей исходной, а проследить последовательность приведения левой части расширенной

Рассмотрим столбец 1.

Преобразования матрицы удобнее производить в целых числах, для этого следует прибавить
соответствующие элементы строки 1 к элементам строки 2:

Прибавим соответствующие элементы строки 1 к элементам строки 2, помножив их на -3.

Это приведет к тому, что в левой части расширенной матрицы, все элементы расположенные ниже
главной диагонали = 0.

Проведем аналогичные преобразования, но уже применительно к элементам матрицы,
расположенными выше главной диагонали.

Рассмотрим столбец 2.

Разделим элементы строки 2 на -30.

Прибавим к элементам строки 1 соответствующие элементы строки 2, помноженные на -13.

Элементы строки 1 разделим на -1.

Запишем обратную матрицу.

Теперь вернемся к уравнению, записанному нами в матричной форме.

A * X = B

Умножим обе части уравнения на A¹

Произведение исходной матрицы на обратную дает единичную матрицу,
т.е. A¹ * A = Е, следовательно

X = A¹ * B

Ответ :