Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений бывают двух основных типов - линейные однородные и неоднородные. Решать системы дифференциальных уравнений можно также двумя основными способами решения:

  1. Метод исключения, суть которого в том, что в процессе решения система дифуравнений сводится всего лишь к одному дифференциальному уравнению.
  2. При помощи характеристического уравнения или метод Эйлера.

В основном системы дифференциальных уравнений решаются первым способом.

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

Простейшую однородную систему дифференциальных уравнений можно представить в следующем виде:

Однородные системы ДУ, где k, l, m, n – это обыкновенные числа, x(t) и y(t) – неизвестные функции. Переменная t играет роль независимой переменной (в обычном дифференциальном уравнении на ее месте обычно встречается х).

dx/dt и dy/dt – первые производные неизвестных функций x(t) и y(t) соответственно.

Решить систему дифференциальных уравнений - означает определить такие функции x(t) и y(t), которые удовлетворяют обоим уравнениям системы. Как видно, все очень похоже на обычные системы линейных уравнений, разница лишь в том, что там корни уравнения - это числа, а здесь – функции.

Ответ запишем в виде общего решения системы дифуравнений:

Однородные системы ДУ

Можно записать систему более компактно:

Однородные системы ДУ

Самым распространенным является вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, где приняты следующие обозначения:

dx/dt и dy/dt – производные 1-го порядка;

d2x/dt2 и d2y/dt2 – производные 2-го порядка.

Пример.

Требуется найти решение задачи Коши для системы дифуравнений Однородные системы ДУ при начальных условиях x(0) = 3, y(0) = 0.

При решении будем использовать метод исключения.

Возьмем второе уравнение системы Однородные системы ДУ и выразим из него х:

Однородные системы ДУ, знак * мы используем для быстрого поиска этого уравнения, т.к. оно нам понадобится в дальнейшем.

Продифференцируем обе части полученного уравнения по t:

Однородные системы ДУ

По-другому это выглядит следующим образом:

Однородные системы ДУ

Подставляем Однородные системы ДУ и Однородные системы ДУ в первое уравнение системы Однородные системы ДУ:

Однородные системы ДУ

Максимально упростим это уравнение:

Однородные системы ДУ

Как видите, мы получили обыкновенное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. С производными оно выглядит следующим образом:

Однородные системы ДУ.

Далее необходимо составить и решить характеристическое уравнение:

Однородные системы ДУ

Однородные системы ДУ – мы получили различные действительные корни, поэтому:

Однородные системы ДУ.

Одна функция найдена. Теперь приступим к поиску x(t).

Найдем производную найденной функции Однородные системы ДУ.

Дифференцируем по t:

Однородные системы ДУ

Теперь подставим Однородные системы ДУ и Однородные системы ДУ в уравнение (*):

Однородные системы ДУ

Упростим полученное уравнение:

Однородные системы ДУ

Итак, мы нашли обе функции.

Общее решение системы будет:

Однородные системы ДУ

Теперь займемся поиском частного решения, соответствующего начальным условиям x(0) = 3 и y(0) = 0. Для этого почленно вычитаем из первого уравнения второе.

Однородные системы ДУ

Подставим найденные коэффициенты:

Однородные системы ДУ

Это и будет частное решение системы.

Остается провести проверку найденного результата:

Проверим выполнение начальных условий x(0) = 3 и y(0) = 0:

x(0) = 4 - 1 = 3

y(0) = 1 – 1 = 0

Проверка прошла успешно.

Проверим найденный ответ на удовлетворение первому уравнению системы Однородные системы ДУ

Возьмем функцию Однородные системы ДУ и найдем её производную:

Однородные системы ДУ

Подставим Однородные системы ДУ, Однородные системы ДУ в первое уравнение системы:

Однородные системы ДУ

Равенство верно, следовательно проверка прошла успешно.

Проверим найденный ответ на удовлетворение второму уравнению системы Однородные системы ДУ

Возьмем функцию Однородные системы ДУ и найдем её производную:

Однородные системы ДУ

Подставим Однородные системы ДУ, Однородные системы ДУ и Однородные системы ДУ во второе уравнение системы:

Однородные системы ДУ

Равенство верно, следовательно и эта проверка прошла успешно.

Итак, мы убедились, что выполнение начальные условия выполняются и что найденное частное решени

Однородные системы ДУ удовлетворяет каждому уравнению исходной системы Однородные системы ДУ.



Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Отправить комментарий

  • Строки и параграфы переносятся автоматически.

Подробнее о форматировании

КАПЧА
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.
4 + 9 =
Решите эту простую математическую задачу и введите результат. То есть для 1+3, введите 4.