Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел.

Понятие замечательных пределов используется на просторах бывшего Советского Союза для обозначения хорошо известных математических тождеств со взятием предела. Замечательны они потому, что они уже доказаны великими математиками и нам нам остается лишь пользоваться ими для удобства нахождения пределов. Из них наиболее известны первый и второй замечательные пределы. Дальнейшее чтение статье будет намного интереснее, если вы уже знакомы с понятием пределов. Если для вас lim , это то что новое, то рекомендуем к прочтению статью "Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов."

Теперь со спокойной душой переходим к рассмотрению замечательных пределов.
Первый замечательный предел имеет вид .

Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к 0.

Пример.

Необходимо вычислить предел

Как видно, данный предел очень похож на первый замечательный, но это не совсем так. Вообще, если Вы замечаете в пределе sin, то надо сразу задуматься о том, возможно ли применение первого замечательного предела.

Согласно нашему правилу №1 подставим вместо х ноль:

Получаем неопределенность .

Теперь попробуем самостоятельно организовать первый замечательный предел. Для этого проведем нехитрую комбинацию:

Таким образом мы организовываем числитель и знаменатель так, чтобы выделить 7х. Вот уже и проявился знакомый замечательный предел. Желательно при решении выделять его:

Подставим решение первого замечательного примера и получаем:

Упрощаем дробь:

Ответ: 7/3.

Как видите – все очень просто.

Второй замечательный предел имеет вид , где e = 2,718281828… – это иррациональное число.

Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к .

Пример.

Необходимо вычислить предел

Здесь мы видим наличие степени под знаком предела, значит возможно применение второго замечательного предела.

Как всегда воспользуемся правилом №1 – подставим вместо х:

Видно, что при х основание степени , а показатель – 4x > , т.е. получаем неопределенность вида :

Воспользуемся вторым замечательным пределом для раскрытия нашей неопределенности, но сначала надо его организовать. Как видно – надо добиться присутствия в показателе, для чего возведем основание в степень 3х, и одновременно в степень 1/3x, чтобы выражение не менялось:

Не забываем выделять наш замечательный предел:

Дальше знак предела перемещаем в показатель:

Ответ: .

Вот такие действительно замечательные пределы!
Если у вас остались какие то вопросы по первому и второму замечательным пределам, то смело задавайте их в комментариях.
Всем по возможности ответим.

Также вы можете позаниматься с педагогом по этой теме.

Можно писать математические вычисления в блокнотах. В блокноты с логотипом (http://www.blocnot.ru) индивидуальным писать намного приятней.