Основные тригонометрические формулы

В самом начале этой статьи мы с Вами рассмотрели понятие тригонометрических функций. Основное назначение их назначение – это изучение основ тригонометрии и исследование периодических процессов. И тригонометрический круг мы не зря рисовали, потому что в большинстве случаев тригонометрические функции определяются, как отношение сторон треугольника или его определенных отрезков в единичной окружности. Так же я упоминал о неоспоримо огромном значении тригонометрии в современной жизни. Но наука не стоит на месте, в результате мы можем значительно расширить область применения тригонометрии и перенести ее положения на вещественные, а иногда и на комплексные числа.

Формулы тригонометрии бывают нескольких видов. Рассмотрим их по порядку.

1. Соотношения тригонометрических функций одного и того же угла

Здесь мы подошли к рассмотрению такого понятия как основные тригонометрические тождества.

Тригонометрическое тождество - это равенство, которое состоит из тригонометрических соотношений и которое выполняется для всех значений величин углов, которые входят в него.

Рассмотрим наиболее важные тригонометрические тождества и их доказательства:



Первое тождество вытекает из самого определения тангенс.

Возьмем прямоугольный треугольник, в котором имеется острый угол х при вершине А.



Для доказательства тождеств необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:

(ВС) ² + (АС) ² = (АВ) ²

Теперь разделим на (АВ) ² обе части равенства и припомнив определения sin и cos угла, мы получаем второе тождество:

(ВС) ²/(AB) ² + (AC) ²/(AB) ² = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin² x + cos² x = 1

Для доказательства третьего и четвертого тождеств воспользуемся предыдущим доказательством.

Для этого обе части второго тождества разделим на cos² x:

sin² x/ cos² x + cos² x/ cos² x = 1/ cos² x

sin² x/ cos² x + 1 = 1/ cos² x

Исходя из первого тождества tg x = sin х /cos x получаем третье:

1 + tg² x = 1/cos² x

Теперь разделим второе тождество на sin² x:

sin² x/ sin² x + cos² x/ sin² x = 1/ sin² x

1+ cos² x/ sin² x = 1/ sin² x

cos² x/ sin² x есть не что иное, как 1/tg² x, поэтому получаем четвертое тождество:

1 + 1/tg² x = 1/sin² x

Пришла пора вспомнить теорему о сумме внутренних углов треугольника, которая гласит, что сумма углов треугольника = 180⁰. Получается, что при вершине В треугольника находится угол, величина которого 180⁰ – 90⁰ – х = 90⁰ – х.



Опять вспомним определения для sin и cos и получаем пятое и шестое тождества:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90⁰– x ) = (BC)/(AB)

cos(90⁰– x ) = sin x

Теперь выполним следующее:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90⁰– x ) = (AC)/(AB)

sin(90⁰– x ) = cos x

Как видите – здесь все элементарно.

Существуют и другие тождества, которые используются при решении математических тождеств, я приведу их просто в виде справочной информации, потому как все они проистекают из вышерассмотренных.



2. Выражения тригонометрических функций друг через друга

   (выбор знака перед корнем определяется тем, в какой из четвертей круга расположен угол ?)

















3. Далее следуют формулы сложения и вычитания углов:



4. Формулы двойных, тройных и половинных углов.

   Замечу, что все они проистекают из предыдущих формул.

sin 2х =2sin х*cos х

cos 2х =cos²х -sin²х =1-2sin²х =2cos²х -1

tg 2x = 2tgx/(1 - tg² x)

сtg 2x = (сtg² x - 1) /2сtg x

sin3х =3sin х - 4sin³х

cos3х =4cos³х - 3cos х

tg 3x = (3tgx – tg³ x) /(1 - 3tg² x)

сtg 3x = (сtg³x – 3сtg x) /(3сtg² x - 1)









5. Формулы преобразования тригонометрических выражений:

Когда-то, будучи школьником, я с удовольствием применял эти формулы для решения различного рода задач, как то упростить выражение или решить уравнение. Главное разглядеть - куда и какую формулу необходимо применить, и тогда многоярусная конструкция превращается в обычное числовое выражение. Очень полезная штука для развития логического мышления!